BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(c)

Question 1.

ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର :

(i) △ABC ଓ △DEF ମଧ୍ୟ 6ର , m∠A = m∠D, m∠B = m∠E, AB = 3 ସେ.ମି., , BC = 5 ସେ.ମି.,ଏବଂ DE = 7.5 ସେ.ମି. ହେଲେ,, EF : _____ ସେ.ମି., (10, 10.5, 12, 12.5)

Solution:

12.5

Hint:

△ABC ~ △DEF ⇒ ABDE = BCEF ⇒ 37.5 = 5EF ⇒ EF = 12.5 ସେ.ମି. |

(ii) △ABC ରେ AB = 5 6 ସେ.ମି., BC = 7 ସେ.ମି., CA = 8 6 ସେ.ମି.; △PQR ରେ PQ = 10 ସେ.ମି., QR = 14 ସେ.ମି. । PR = _____ ସେ.ମି. ହେଲେ, △ABC ଓ △PQR ସଦୃଶକୋଣୀ ହେବେ । (12, 16, 20, 24)

Solution:

16

Hint:

△ABC ~ △PQR ⇒ ABPQ = BCQR ⇒ ACPR

(iii) △ABC ଓ △POR ମଧ୍ଯରେ ∠B ≅ ∠Q | △ABC ର AB = 8 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 12 ସେ.ମି. । A POR ର PQ = 12 ସେ.ମି. ଏବଂ QR = 18 ସେ.ମି. । △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 48 ବର୍ଗସେ.ମି. ହେଲେ △PQR ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = _____ ସେ.ମି. ହେଲେ, (84, 96, 104, 108)

Solution:

108

Hint:

△ABC ~ △PQR

∴ △ABCର6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ△PQRର6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ = AB2PQ2

⇒ 48△PQRର6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ = 49

⇒ △PQR ର 6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ = 108 ଦ . ସେ.ମି.

(iv) △ABC ଓ ∠ABC ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ AC¯¯¯¯¯¯¯ କୁ P ଦିନ୍ଦୁ6ର ଛେଦ କରେ | AB = 12 ସେ.ମି. ଓ BC = 9 ସେ.ମି. ହେବେ , AP : AC _____ | (4 : 3, 3 : 4, 7 : 4, 4 : 7)

Solution:

4 : 7

Hint:

∠B ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡନ BP¯¯¯¯¯¯¯

⇒ ABBC = APPC ⇒ 43 = APPC

∴ APAC = 47

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(c)

(v) ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 16 : 25 ହେଲେ, ସେହି ତ୍ରିଭୁଜ ଦ୍ଵୟର ଅନୁରୂପ ଯୋଡ଼ାର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ _____ | (4 : 5, 2 : 5, 5 : 4, 5 : 2)

Solution:

4 : 5

Hint:

ଦୁକଟି ସମବାହୁ ତିଦୁକର 6ସ୍ତୃତ୍ରଫଳର ଅନ୍ନପାଜର ଦାହୁଦୂଯର ତାଦଣପୁର ବ୍ରଣ ଅନ୍ମଣ ପର ସହ ସମାନ |

(vi) ପାଣ୍ଡଷ୍ଟ ଚିତ୍ରରେ , m∠B = 50°, m∠BDC = 100° ଓ △DBC ~ △CBA ହେଲେ , m∠ACD ______ | (60°, 70°, 80°, 90°)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 1

Solution:

70°

Hint:

△DBC ~ △CBA

⇒ m∠BDC = m∠ACB = 100° କକ୍ମ m∠BCD = 30°

∴ m∠ACD = 70°

(vii) ପାଣ୍ଡଷ୍ଟ ଚିତ୍ରରେ , △ABE ଓ △ACD ର 6ସ୍ତ୍ ତ୍ରଫଳ ସମାଜ 6 ଦୃ6କ , △BOC ~ _____ |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 2

(△ADE, △DOB, △EOD, △OEC)

Solution:

△EOD

Hint:

△ABE 6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ = D ACD 6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ ⇒ △BDE 6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ = △DEC 6ସ୍ତୃତ୍ତ୍ଵଫଳ ⇒ DE¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ ⇒ △BOC ~ △EOD

(viii) ପାଶ୍ଚଣ୍ଠ ଚିତ୍ରରେ △ABC ର AE¯¯¯¯¯¯¯ ଓ BD¯¯¯¯¯¯¯ ଯଥାକୃ6ମ BC¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AC¯¯¯¯¯¯¯ ପୃତି ଦିପତାତ ଶାସ୍ତ୍ର ଦିନ୍ଦରୁ କମ , 6ତ6ଦ △BEM ~ △ ___ |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 3

[BEA, ABD, BDC, AEC]

Solution:

△AEC

Hint:

m∠EBM = m∠EAC ଏବଂ m∠MEB = m∠AEF

⇒ △BEM ~ △AEC

(ix) ପାସ୍ତସ୍ଥ ଚିତ୍ର6ର BC ରପରିସ୍ଥ D ଏକ ଦନ୍ଦୁ |

∠ADC ≅ ∠BAC ତ୍ରଫଳ ,

CB. CD = _____

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 4

(AC2 , AB2 , AD . AB, AD. AC)

Solution:

AC2

Hint:

△ABC ~ △DAC ⇒ CBAC = ACCD

⇒ CB . CD = AC2

(x) △ABC ରେ ∠BAC ର ସମଦିଖଣ୍ଡକ BC କୁ M ଦିନ୍ଦୁ6ର ଛେଦକ6ର | AB : AC = 2 : 3 ଏବଂ BC = 15 ସେ.ମି. ହେଲେ, , BM = _____ ସେ.ମି. | (6, 9, 10, 12)

Solution:

6

Hint:

ABAC = BMMC (∠BAC ର ସମଦ୍ୱିଗଣ୍ଡକ AM¯¯¯¯¯¯¯¯)

⇒ 23 = BMMC

⇒ BC = BM + MC ⇒ 15 = 2x + 3x ⇒ x = 3, BM = 6

Question 2.

(i)△ABC ରେ AB = 2.5 ସେ.ମି., BC = 2 ସେ.ମି., AC = 3.5 ସେ.ମି. ଏବଂ △PQR 66 PQ = 5 ସେ.ମି. QR = 4 ସେ.ମି. , PR = 7 ସେ.ମି. | m∠A = x° ଓ m∠Q = y° ଛେଦକ, m∠B, m∠C, m∠P ଓ m∠R ହେଲେ କୁର |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 6

ଏO|6ର ABPQ = 2.55 = 12 , BCQR = 24 = 12 ଓ ACPR = 3.57 = 12

⇒ ABPQ = BCQR = ACPR ⇒ △ABC ~ △PQR

⇒ m∠A = m∠P = x° , m∠B = m∠Q = y°

m∠C = 180° – (x – y)° = m∠R |

(ii) △ABC ଓ △DEF 68 ∠B ≅ ∠E, AB = 4 ସେ.ମି., BC = 6 ସେ.ମି., EF = 9 ସେ.ମି. ଓ DE = 6 ସେ.ମି. | △ABC ର ଶ୍ରେତ୍ରଫଳ 20 ଦଗ ସେ.ମି.ଦ୍ରେଭେ , DEF ର ଶ୍ରେତ୍ରଫଳ ନିଗ୍ରଯ କର |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 7

ABDE = 46 = 23

BCEF = 69 = 23

∴ ABDE = BCEF = ଓ ∠B ≅ ∠E

⇒ △ABC ~ △DEF

⇒ △ABCରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ△DEFରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ = AB2DE2 = 49

⇒ 20ବଗ6ସ.ମି.△DEFର6ଘ୍ତତ୍ରଫଳ = 49

⇒ △DEF ର 6ଘ୍ତତ୍ରଫଳ = 20×94 ଚ୍ଚଗ ସେ.ମି. = 45 ଦଗ6ସ.ମି. |

(iii) ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରଥମଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦ୍ବିତୀୟଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର 9 ଗୁଣ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜ ଦୁଇଟିର ଅନୁରୂପ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Solution:

ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ = 9 : 1 = ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟର ଅନୁରୂପ ବାହୁ ।

⇒ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟର ଅନୁରୂପ ବାହୁ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗାନୁପାତ = 92−−√ : 12−−√ = 3 : 1

(iv) ପାଣ୍ସ୍ଟଣ ଚିତ୍ର6ର , ∠BAC ≅ ∠DAC , AC = 12 6ସ.ମି. ଓ BC = 15 6ସ.ମି. | △ADC ର ଷ୍ଟେତୃଫକ 32 ଦ.6ସ.ମି. 6ଦୃ6କ , △ABD ର ଷ୍ଟେତୃଫକ ଚିତ୍ର6ର କର |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 5

Solution:

△ABC ଓ △DAC ମଧ୍ୟ6ର

∠BAC ≅ ∠DAC (ଦର)

∠ACB ≅ ∠ACD (ସାଧାରଣ 6କାଣ)

ଥଦଣଘ୍ତ ∠ACB ≅ ∠DAC

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 8

∴ △ABC ~ △DAC (6କା – 6କା – 6କା ସାଧାରଣ)

⇒ △ABCରଷ୍ଟେତୃଫକ△DACରଷ୍ଟେତୃଫକ = △ABCରଷ୍ଟେତୃଫକ32ପରିସାମା = BC2AC2 = 152122

⇒ △ABC ର ଷ୍ଟେତୃଫକ = (225144 × 32 ) ପରିସାମା = 50 ପରିସାମା |

△ABD ର ଷ୍ଟେତୃଫକ = △ABC ର ଷ୍ଟେତୃଫକ – △ADC ର ଷ୍ଟେତୃଫକ = 50 ପରିସାମା – 32 ପରିସାମା = 18 ଦ.6ସ.ମି.

(v) △ABC ର AB = 5 6ସ.ମି., BC = 7 6ସ.ମି.. ଓ CA = 9 6ସ.ମି. | △PQR ~ △ABC ଏବଂ △PQR ର ପରିସାମା 63 6ସ.ମି. ହୋ6କ , PQ, QR ଓ PR କିଣ୍ଡଯ କର |

Solution:

△PQR ~ △ABC (ଦଉ)

△ABC ର ପରିସାମା = (5 + 7 + 9 ) 6ସ.ମି. = 21 6ସ.ମି.

△PQRରଷ୍ଟେତୃଫକ△ABCରଷ୍ଟେତୃଫକ = 6321 = 3 (△PQR ର ପରିସାମା = 63 6ସ.ମି. )

⇒ △PQRରଷ୍ଟେତୃଫକ△ABCରଷ୍ଟେତୃଫକ = PQ+QR+PRAB+BC+AC = PQAB = QRBC = PRAC

⇒ 3 = PQ5 = QR7 = PR9

∴ PQ = 5 × 3 6ସ.ମି. = 15 6ସ.ମି. , QR = 7 × 3 6ସ.ମି. = 21 6ସ.ମି. PR = 9 × 3 6ସ.ମି. = 27 6ସ.ମି. |

(vi) △ABC ~ △PQR ; AB = 5 6ସ.ମି. , BC = 12 6ସ.ମି. ., AC = 13 6ସ.ମି. ଓ QR = 8 6ସ.ମି. ସମଦ୍ୱିଗଣ୍ଡକ △PQR ର ଷ୍ଟେତୃଫକ ଚିତ୍ର6ର କର |

Solution:

△ABC ~ △PQR(ଦଉ)

△ABCରଷ୍ଟେତୃଫକ△PQRରଷ୍ଟେତୃଫକ = BC2QR2 = 14464 = 94

(ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ, ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ ସହ ସମାନ ।)

ଆମେ ଜାଣୁ 52 + 122 = 132 ଅର୍ଥାତ୍ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ । m∠ABC = 90°

∴△ABC ର ଷ୍ଟେତୃଫକ = 12 × 5 × 12 6ସ.ମି = 30 6ସ.ମି2

306ସ.ମି2△PQRରଷ୍ଟେତୃଫକ = 94

⇒ △PQR ର ଷ୍ଟେତୃଫକ = 30×49 6ସ.ମି2 = 1313 6ସ.ମି2|

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(c)

(vii) △ABC ~ △PQR | △ABC ପରିସୀମା 60 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 81 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ △PQR ର ପରିସୀମା 80 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

Solution:

△ABC ~ △PQR (ଦଉ)

△ABCରପରିସୀମା△PQRରପରିସୀମା = 60ସେ.ମି.80ସେ.ମି. = 34

⇒ ABPQ = 34

∴ △ABCରକ୍ଷେତ୍ରଫଳ△PQRରକ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 3242 = 916

⇒ 81306ସ.ମି2△PQRରକ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 916 ⇒ △PQR ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 81×169 6ସ.ମି2 = 144 6ସ.ମି2 .

Question 3.

ପ୍ତମାଣ କର 6ଯ କୁଲଟି ସହଶ ତ୍ରରୁଜର

(a) ଅନୁରୂପ ଉଚ୍ଚତାମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଉକ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜ ଦ୍ୱୟର ଅନୁରୂପ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନୁପାତୀ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 9

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 10

Question 4.

ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତ୍ରିଭୁଜ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ।

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 13

Question 5.

ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତ୍ରିଭୁଜ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ।

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 14

Question 6.

ପ୍ରମାଣ କର : ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ, ଉକ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜ ଦ୍ଵୟର

(a) ଅନ୍ତୁପ ଭରତାମାନକର 6ବିଶଇ ଦଗାନ୍ ପାତ ସହ ସମାନ |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 15

ଦଭ : △ABC ~ △PQR , A <-> P, B <-> Q ଓ C <-> R

AD¯¯¯¯¯¯¯¯ ⊥ BC¯¯¯¯¯¯¯ ଓ PS¯¯¯¯¯¯ ⊥ QR¯¯¯¯¯¯¯¯

ପ୍ତ।ମାଣୟ : △ABCରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ△PQRରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ = AD2PS2

ପ୍ତମାଣ : △ABD ଓ △PQR ରେ ∠ABD ≅ ∠PQS (∵ ∠ABC ≅ ∠PQR)

∠ADB ≅ ∠PSQ (ଇବ6ପ୍ ସମ6କାଣ)

ଅତ୍ଣିପ୍ରତି ∠BAD ≅ ∠QPS

△ABD ଓ △PQS (6କା. 6କା. 6କା. ସାଦ୍ଶ୍ୟ)

⇒ ABPQ = ADPS (ସାଦ୍ୱଣଦର ଫଲ୍ଲା)

△ABC ~ △PQR ⇒ ABPQ = BCQR = ACPR

∴ ABPQ = BCQR = ACPR = ADPS

△ABCରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ△DEFରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ = AB2PQ2 = BC2QR2 = AC2PR2 = AD2PS2 (ପ୍ତମାଣିତ)

(b) ଅନୁରୁପ 6ଲାଣ-ସମଦ୍ଦିଖଣନମାନକର 6ବିଣ୍ୟର 6ବଣ୍ୟର ତାଗାନ୍ପାତ ସହ ପାପନ |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 16

(c) ଅନୁରୁପ 6ଲାଣ-ସମଦ୍ଦିଖଣନମାନକର 6ବିଣ୍ୟର 6ବଣ୍ୟର ତାଗାନ୍ପାତ ସହ ପାପନ |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 17

(d) ଅନୁରୁପ 6ଲାଣ-ସମଦ୍ଦିଖଣନମାନକର 6ବିଣ୍ୟର 6ବଣ୍ୟର ତାଗାନ୍ପାତ ସହ ପାପନ |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 18

Question 7.

△ABC ର AB¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AC¯¯¯¯¯¯¯ ଢାଦୁ ଭଜଟି ଦିନ୍ଦୁ 6ଯପରିକି △BQP ଓ △CPQ ସମ6ଷତ୍ରଫଳ ଦିଣିସ୍ତୃ | ପ୍ରମାଣ କର ଯେ PQBC = APAB |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 19

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 20

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(c)

Question 8.

ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ AB¯¯¯¯¯¯¯ ଓ CD¯¯¯¯¯¯¯ ର 6ଛଦଦିନ୍ଦୁ O |

(a) AO. OD = BO. OC 6ହକେ , ପୃମାଣ କର ଯେ △AOC ~ △BOD |

(b) CO. OD = AO. OB 6ହକେ , ପୃମାଣ କର ଯେ △AOC ~ △DOB |

(c) ପୃଦତରା 6କରି ପେଣ AC¯¯¯¯¯¯¯ ଓ DB¯¯¯¯¯¯¯ ସମାତୃର 6ଦୃ6ଦ ?

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 21

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 22

Question 9.

ABCD ଟ୍ରାପିଜିଯମ୍ବର AB¯¯¯¯¯¯¯ || DC¯¯¯¯¯¯¯ | କଣ୍ଡ AC¯¯¯¯¯¯¯ s BD¯¯¯¯¯¯¯ ପରଘରକୁ O ଦିନ୍ଦୁ6ର ଛେଦ କରତି | AO = 3 6ପ.ମି. ଏବଂ OC = 5 6ପ.ମି. | △AOB ର ଘେତ୍ରଫଳ 36 ଦ. 6ପ.ମି. ହେଲେ , △COD ର ଘେତ୍ରଫଳ କିଣ୍ଡଯ କର |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 23

ABCD ଟ୍ଟାପିଳିଯମ୍ନରେ AB¯¯¯¯¯¯¯ || DC¯¯¯¯¯¯¯ |

AC¯¯¯¯¯¯¯ ଓ BD¯¯¯¯¯¯¯ ର ଛେଦଦିନ୍ଦୁ O |

∠ABO ≅∠ODC (ଏକାନ୍ତର 6କାଣ)

∠BAO ≅∠OCD (ଏକାନ୍ତର 6କାଣ)

∠AOB ≅∠COD (ପ୍ତତାପ 6କାଣ)

⇒ △AOB ~ △COD (6କା. 6କା. 6କା. ସାଦ୍ଶ୍ୟ)

⇒ △AOBରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ△CODରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ = AO2OC2

⇒ 36ଦଗସେ.ମି.△CODରଶ୍ରେତ୍ରଫଳ = 925

⇒ △COD ର ଶ୍ରେତ୍ରଫଳ = 36×259 ଦଶ6ସ.ମି. = 100 ଦଶ6ପ.ମି. |

Question 10.

କିମ୍ନ ଚିତ୍ର6ର △ABC ଓ △DBC ଭଉଯ ଏକ ରମି BC¯¯¯¯¯¯¯ ଭପରିଷ୍ଟ | AC¯¯¯¯¯¯¯ ଓ BD¯¯¯¯¯¯¯ ର 6ଛବଦିହୁ O 6ହ6ଲ ,

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 24

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 25

Question 11.

ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ତ୍ରିଭୁଜଟି ଯେଉଁ ଚାରୋଟି ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ ହୁଏ, ସେମାନେ ସର୍ବସମ ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଳ ତ୍ରିଭୁଜ ସହ ସଦୃଶ । ପୁନଶ୍ଚ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୋଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ମୂଳତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶ ।

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 26

Question 12.

ପାଣମ୍କ ଟିତ୍ରଭେ , △ABC ର ∠ABC ଏକ ସମ6କାଣ | PQRS ଏକ ଥାଯତରିତ୍ର 6ତ୍ର6କ ଯେ,

△APS ~ △QCR ~ △PQB ~ △ACB |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 27

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(c)

Question 13.

ABCD ଟାପିକଯମ୍6ର AD¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ | ∠ABD ≅ ∠DCB 6ଦୁ6କ , ପ୍ତମାଣକର ପେ BD = AD. BC |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 28

ଦର : ABCD ଟ୍ରାପିଚ୍ଚିଯମ୍6ର AD¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯

ଏଣ ∠ABC ≅ ∠DCB |

ସ୍ତ।ମାଶ୍ୟ : BC2 = AD. BC

ପ୍ତମାତ : AD¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯

⇒ ∠ADB ≅∠DCB (ଏକାତ୍ରଉ 6କାଣ)

∠ADB ≅∠DCB (ଦଭ)

⇒ △ABD ~ △DCB (6କା. 6କା. 6କା. ସାଦ୍ଶ୍ୟ)

⇒ BDBC = ADBD (ପlଦୃଶ୍ୟର ଫଳା)

⇒ BD2 = BC. AD

Question 14.

ନପ୍ ଟିତ୍ର6ର AB¯¯¯¯¯¯¯ || DC¯¯¯¯¯¯¯ | △ADO ~ △BCO ବ୍ରେକେ , ପ୍ରମାଣ କର AD = BC |

(ସୂଚନା : ପ୍ରଶ୍ନ 5ରେ ପ୍ରମାଣିତ ତଥ୍ୟକୁ ବ୍ୟବହାର କର ।)

Solution:

ଦର : ABCD ଟ୍ରାପିଚ୍ଚିଯମ୍6ର AB¯¯¯¯¯¯¯ || DC¯¯¯¯¯¯¯ , △ADO ~ △BCO |

ସ୍ତ।ମାଶ୍ୟ : AD = BC

ପାଣମ୍କ : AB¯¯¯¯¯¯¯ || DC¯¯¯¯¯¯¯

⇒ △ABD ର ସେତ୍ରଫଳ – △ABC ର ସେତ୍ରଫଳ

⇒ △ABD ର ସେତ୍ରଫଳ – △AOB ର ସେତ୍ରଫଳ

= △ABC ର ସେତ୍ରଫଳ – △AOB ର ସେତ୍ରଫଳ

⇒ △ADO ର ସେତ୍ରଫଳ – △BOC ର ସେତ୍ରଫଳ |

ପ୍ନନଣ୍ଡ , △ADO ~ △BCO (ଜଉ)

⇒ △ADO ≅ △BCO

(∵ ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ହେଲେ ସେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ହେବେ । )

⇒ AD = BC

Question 15.

△ABC ର AB¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AC¯¯¯¯¯¯¯ ବାହୁ ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ X ଓ Y ବିନ୍ଦୁ ଅବସ୍ଥିତ ଯେପରିକି XY¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △ABC ର ମଧ୍ୟମା AD¯¯¯¯¯¯¯¯ , XY¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ ସମତ୍ତିଖଣ୍ଡ କରେ ।

Solution:

ଦର : △ABC ର AB¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AC¯¯¯¯¯¯¯ ବାହୁ ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ X ଓ Y ବିନ୍ଦୁ ଅବସ୍ଥିତ ଯେପରିକି XY¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ | AD¯¯¯¯¯¯¯¯ ତ୍ରିରୁ ଜର ଏକ ମଧ୍ୟମା | AD¯¯¯¯¯¯¯¯ ଓ XY¯¯¯¯¯¯¯¯ ର ଛେଦ ଦିନ୍ଦ୍ର O |

ସ୍ତ।ମାଶ୍ୟ : OX = OY

ପାଣମ୍କ : △AXO ଓ △ABD ଦର

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 29

∠AXO ≅ ∠ABD (ର୍ଥନ୍ମରୁପ 6କାଣ) (∵ OX¯¯¯¯¯¯¯¯ || BD¯¯¯¯¯¯¯

∠AOX ≅ ∠ADB (ର୍ଥନ୍ମରୁପ 6କାଣ) (∵ OX¯¯¯¯¯¯¯¯ || BD¯¯¯¯¯¯¯

⇒ △AXO ≅ △ABD (6କା. 6କା. 6କା. ସାଦ୍ଶ୍ୟ)

⇒ AOAD = OXDB (ସାଦ୍ୱଶ୍ୟର ସଂଳା)

ସେଦିପରି △AYO ~ △ACD ⇒ AOAD = OYDC

⇒ OXDB = OYDC ⇒ OX = OY (∵DB = DC ଦଇ)

Question 16.

△ABC ରେ AD¯¯¯¯¯¯¯¯ ଏକ ମଧ୍ୟମା ଏବଂ AD¯¯¯¯¯¯¯¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ E | BE−→− ରଶ୍ମି AC¯¯¯¯¯¯¯ କୁ X ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ BE = 3EX |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 30

Question 17.

△ABC 6ର AD¯¯¯¯¯¯¯¯ ⊥BC¯¯¯¯¯¯¯ ଏବଂ AD2 = BD. CD ହେଲେ, ପ୍ରମାଣକର ଯେ

(i) ∠BAC ଏକ ସମକୋଣ,

(ii) △ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ △CADର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ AB2 ଓ AC2 ସହ ସମାନୁପାତୀ

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 31

Question 18.

△ABC ଓ △DEF 6ର m∠A = m∠D, m∠B = m∠E | BC¯¯¯¯¯¯¯ ଓ EF¯¯¯¯¯¯¯ ଉ ମଧ୍ୟ ଦିନ୍ଦୁ ଯଥାକୁ ମେ X ଓ Y ହେଲେ , ପ୍ରମାଣ କର ଯେ

(i) △AXC ~ △DYF (ii) △AXB ~ △DYF |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 32

ସ୍ତ।ମାଶ୍ୟ : (i) △AXC ~ △DYF (ii) △AXB ~ △DYF

ପାଣମ୍କ : △ABC ଓ △DEF 6ର m∠A = m∠D, ଓ m∠B = m∠E

⇒ △ABC ~ △DEF (6କା. 6କା. 6କା. ସାଦ୍ଶ୍ୟ)

⇒ ABDE = BCEF = ACDF

⇒ ABBC = DEEF ⇒ AB2BX = DE2EY (∵ X, BC¯¯¯¯¯¯¯ ର ମଧ୍ୟଦିନ୍ଦୁ ଓ Y, EY¯¯¯¯¯¯¯ ରମଧ୍ୟଦିନ୍ଦୁ )

⇒ ABBX = DEEY

ର୍ଥତ୍ରଗତ ∠ABX ≅ △DEY (∵ m∠B = m∠E)

⇒ △AXB ~ △DYE

ସେହପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରିବ △AXC ~ △DYE |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(c)

Question 19.

ପାଶ୍ୱମ୍ ଟି ତୃଭେ △ABC ର AB¯¯¯¯¯¯¯ ଉପରିସ୍କ Q ଏକ ଦିନ୍ଦୁ , QR¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ 6ପପରିକି A-R-C, DR¯¯¯¯¯¯¯¯ || QC¯¯¯¯¯¯¯¯ ରମଧ୍ୟଦିନ୍ଦୁ A-D-B | ପ୍ରମାଣକର ମେ AQ2 = AD × AB |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 33

Solution:

ଦର : △ABC ର AB¯¯¯¯¯¯¯ ଭପରିସ୍ଥ Q ଏକ ଦିନ୍ଦୁ , QR¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ 6ଯପରିକି

A-R-C ଏବଂ DR¯¯¯¯¯¯¯¯ || QC¯¯¯¯¯¯¯¯ 6ଯପରିକି A-D-B |

ସ୍ତ।ମାଶ୍ୟ : AQ2 = AD × AB

ପାଣମ୍କ : △AQC ରେ DR¯¯¯¯¯¯¯¯ || QC¯¯¯¯¯¯¯¯

⇒ ARAC = ADAQ …(i)

△ABC ରେ QR¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ ⇒ ARAC = AQAB …(ii)

(i) ଓ (ii ) ହ AQAB = ADAQ ⇒ AQ2 = AD × AB

Question 20.

ପାଶଙ୍କ ଚିତ୍ର 6ର AB¯¯¯¯¯¯¯ || CD¯¯¯¯¯¯¯ || EF¯¯¯¯¯¯¯ ଏର୍ଦ AF¯¯¯¯¯¯¯ ଓ

BE¯¯¯¯¯¯¯ ପରସ୍ତରକୁ C ବିନ୍ଦୁ 6ର 6ଛଦ କରନ୍ତି | ପ୍ରମାଣ କର ସେ EF × BD = DF × AB |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 34

Question 21.

ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଦ୍ବୟର ଅନୁପାତ, ଉକ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ଅନୁରୂପ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ ସହ ସମାନ, ପ୍ରମାଣ କର ।

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 35

Question 22.

A-P-B ଓ A-Q-B 6ହାଲେ ଏଇ APPB = AQQB 6ହାଲେ , ପ୍ତମାଣା କର ମେ P ଓ Q ଥିରିନ୍ନ |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 36

Question 23.

ପାଣମ୍ଠ ଚିତ୍ରରେ △ABC ର ∠ABC ଏକ ଶୁକ6କାଣ | A ରୁ BC−→− ପ୍ରତ ଅଳିତ ଲମୂର ପାଦ ଦିନ୍ଦୁ D | ଯଦି AD2 = BD. DC ହୁଏ , ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ∠BAD ଓ ∠CAD ପରମର ଅନୁତ୍ପରକ |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 37

Solution:

ଦର : △ABC ରେ ∠ABC ତ୍ପଳ6କାଣ | AD¯¯¯¯¯¯¯¯ ⊥ CB−→− , AD2 = BD. DC

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠BAD + m∠CAD = 90°

ପ୍ରାମାଣ : AD2 = BD. DC (ଦର)

⇒ ADBD = DCAD

ଅନ୍ତଗତ ∠ADB ≅ ∠ADC (ପ୍ତ6ତ୍ୟକ ସମ6ଳାଣ)

⇒ △ADB ~ △CDA

⇒ ∠BAD ≅ ∠ACD

△ADC ରେ m∠ACD + m∠CAD = 90°

⇒ m∠BAD + m∠CAD = 90° (∵ ∠BAD ≅ ∠ACD)

Question 24.

△ABC ର AB¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AC¯¯¯¯¯¯¯ ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ X ଓ Y ବିନ୍ଦୁ ଅବସ୍ଥିତ, ଯେପରିକି XY¯¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ XBCY ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, △AXY ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଆଠଗୁଣ ହେଲେ, AX : BX ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 38

Question 25.

ABCD ଏକ ସ|ମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର | AG−→− ରଣ , BD¯¯¯¯¯¯¯ , CD¯¯¯¯¯¯¯ ଓ BC−→− କୁ ଯଥାକ୍ତ6ମ E, F ଓ G ଦିନ୍ଦୁ 6ର 6ରଦରକା , ତ୍ପମାଣ କର ଯେ AE : EG = AF : AG |

Solution:

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 39

ଦର୍ : ABCD ଏକ ସ|ମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର | AG−→− ରଣ , BD¯¯¯¯¯¯¯ , CD¯¯¯¯¯¯¯ ଓ BC−→− କୁ ଯଥାକ୍ତ6ମ E, F ଓ G ଦିନ୍ଦୁ 6ର 6ରଦରକା

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: AE : EG = AF : AG

ପ୍ରାମାଣ : △ABG ରେ CF¯¯¯¯¯¯¯ || BA¯¯¯¯¯¯¯ |

⇒ BCBG = AFAG

⇒ AFAG = BCBG = ⇒ ADBG (∵ AD = BC)

ପୁନଶ୍ଚ △AED ଓ △GEB ରେ ∠DAE ≅ ∠EGB (ଏଲାନ୍ତର ଲୋଣ)

∠AED ≅ ∠GEB (ପୃତାପ ଲୋଣ)

⇒ △AED ~ △GEB (କୋ . କୋ .ସାହଣ୍ୟ)

⇒ ADBG = AEEG (ସାଦୃଶ୍ୟର ସକା)

⇒ AEEG = AFAG (∵ ADBG = AFAG)