Question 1.
ଚିତ୍ରରେ △ABC ର BC¯¯¯¯¯¯¯¯ ବାହୁ ଉପରିସ୍ଥ D ଏକ ବିନ୍ଦୁ, ଯେପରିକି AD¯¯¯¯¯¯¯¯¯, ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ତଳେ ଥିବା ଅନୁପାତ ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଅନୁପାତଟି ବାଛି ନିମ୍ନରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
△ABD ଓ △ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ …………………….
(AB: DC, BD: AC, AB : AC, AD : BC)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 1
Question 2.
△ABC ର ∠ABC ର ପମଦୁଖପୃକ AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ବାକୁକ୍ଲି D ଦିନ୍ଦୁ6ର ଛେଦ ଦ6ର | AB = 4 ସେ.ମି. BC = 6 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 5 ସେ.ମି. ହେଲେ, AD ଓ CD ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
△ABCର ∠ABCର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 2
⇒ ABBC = ADDC
⇒ ADDC = ABBC = 46
⇒ ADDC = 23
∴ AD = 2x ପେ.ମି. 6ହଲ, DC = 3x ପେ.ମି. |
AC AD + DC = 2x 6ପେ.ମି. + 3x ପେ.ମି. = 5 × ପେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ 5x = 5 ⇒ x = 1
∴ AD = 2x ପେ.ମି. = 2 ପେ.ମି. ଓ DC = 3x ପେ.ମି. = 3 ପେ.ମି. |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(b)
Question 3.
△ABC ର AB¯¯¯¯¯¯¯¯, BC¯¯¯¯¯¯¯¯ ଓ CA¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ c, a ଓ b ଏକକ ରୂପେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ । ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AB¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) AM = bca+b
(ii) BM = caa+b
Solution:
△ABC 6ର ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ CM¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 3
⇒ ACBC = AMBM
⇒ ba = AMBM
∴ AM = bx ଏକକ 6ଦୃ6କ, BM = ax ଏକକ
∴ c = AB = AM + BM = bx + ax = x (a + b) ⇒ x = ca+b
∴ AM = bx = bca+b ଓ BM = ax = aca+b (ପ୍ରମାଣିତ)
Question 4.
(i) ଟିଦୃ6ର, △ABC ର AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ଦାକ୍ ପ୍ରତି ମଧ୍ୟମା BP¯¯¯¯¯¯¯¯ | ∠BPC ଏର୍ବ ∠BPA ର ଅସ୍ତ୍ର୫ପମହି ଖଣ୍ଡକ ଯଥାକ୍ସେ BC¯¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AB¯¯¯¯¯¯¯¯ କ୍ମ X ଓ y ବ୍ବ୍ର6ର 6ଚ୍ଛଦ କରତି | ପ୍ରମାଣ କର 6ସ XY←→− || AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 4
Solution:
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 5
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 6
Question 5.
ଚିତ୍ର ରେ △ABC ଉ BP¯¯¯¯¯¯¯¯ ମଧ୍ୟମା | ∠ABC ର ସମଦୃଖଣ୍ଡକ PY←→ , AB¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ Y ଦିନ୍ଦରେ 6ଚ୍ଛଦ କରେ | AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ସହି ସମାବର କରି Y ଦିନ୍ଦୁରେ YX←→− ଅଙବ କରାଯାଇଚ୍ଚି , ଯେପରି ର।ତ୍ରା BC¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ X ଦିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଦୁଚ୍ଛ | ପ୍ରମାଣ କର ଯେ PX−→− , ∠BPC ର ସମଦ୍ରିଖଣ୍ଡକ |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 7
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ର BP¯¯¯¯¯¯¯¯ ଏକ ମଧ୍ୟମା | ∠APB ର ପ୍ରସଦ୍ଵିଖଶ୍ରକ PY←→ , AB¯¯¯¯¯¯¯¯ କ Y ଦିନ୍ଦରେ ଛେଦକ6ର | AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ସହ ସମାନ୍ତର କରି Y ଦିନ୍ଦୁରେ YX←→− ରଥନ କରାଯାଇଗ୍ଲି 6ଯପରି ତାହା BC¯¯¯¯¯¯¯¯ କ୍ମି X ବିନ୍ଦୁଦକରୁଛି |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PX←→ , ∠BPC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ |
ପ୍ରମାଣ : △ABP ରେ ∠APB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AB¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ Y ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ BPAP = BYAY
△ABC 6ର XY¯¯¯¯¯¯¯¯ || AC¯¯¯¯¯¯¯ ⇒ BYAY = BXCX
∴ BPAP = BXCX
⇒ BPCP = BXCX (∵ AP = CP (ଦର))
⇒ PX−→ , ∠BPC ର ପ୍ରସଦ୍ଵିଖଶ୍ରକ |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(b)
Question 6.
△ABC ରେ ∠BAC ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ, BC¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ଏବଂ ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AP¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ ( ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AQQP = AB+ACBC |
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ରେ ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BC¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ∠ABC ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ AP¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AQQP = AB+ACBC
ପ୍ରମାଣ : △BAC ରେ ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BC¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 8
⇒ ABAC = BPCP ⇒ ABBP = ACCP (ଏକାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦ୍ବାରା )
⇒ ABBP = ACCP = AB+ACBP+CP (କ୍ରମିକଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦ୍ଵାରା)
⇒ ABBP = AB+ACBC …(i)
ପୁନଶ୍ଚ △ABP ରେ ∠ABP ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AP¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ ABBP = AQQP …(ii)
(i) ଓ (ii) କୁ AQQP = AB+ACBC (ପ୍ରମାଣିତ)
Question 7.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ∠BAD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, BD¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କଣ୍ଠକୁ K ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ଏବଂ ∠ABC ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ, AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କଣ୍ଠକୁ L ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
ସମାଧାନ :LK−→ || AB¯¯¯¯¯¯¯¯ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : LK−→ || AB¯¯¯¯¯¯¯¯
ଅଙ୍କନ : AK−→−, DC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । K ବିନ୍ଦୁରେ AB¯¯¯¯¯¯¯¯ ସହ ସମାନ୍ତର ଭାବେ ଅଙ୍କିତ ରେଖା AD¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : △BAD ରେ ∠DAB ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ DB¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କୁ K ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ ADAB = DKKB
△DAB ରେ NK¯¯¯¯¯¯¯¯¯ || AB¯¯¯¯¯¯¯¯ |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 9
⇒ DKKB = DNAN
△ ADM ରେ NK¯¯¯¯¯¯¯¯¯ || DM¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⇒ DNAN = KMAK
∴ ADAB = BCAB (∵ AD = BC)
△ ABC ରେ BL−→ , ∠ABC ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ BCAB = CLAL
⇒ KMAK = CLAL (∵BCAB = ADAB = DKKB = DNAN = KMAK )
⇒ KL¯¯¯¯¯¯¯¯ || MC¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
⇒ KL¯¯¯¯¯¯¯¯ || AB¯¯¯¯¯¯¯¯ (∵KL¯¯¯¯¯¯¯¯ || AB¯¯¯¯¯¯¯¯ ) (ପ୍ରମାଣିତ)
Question 8.
ABCD ଚହୁକୁଳର ∠DAB ଓ ∠DCB 6କାଣଦ୍ୱଯଉ ପମଦଖଣ୍ଡକ ପରପକ BD¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କଣ୍ଡ ରପରେ ଛେଦକରଚି | ପ୍ରାମାଣ କର ଯେ ∠ABC ଓ ∠ADC ର ପମ ଦିଖଣ୍ଡକଦୁଯ ପରସ୍ତକ୍ AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କଣ୍ଡ ରପ6ଭ 6ଚ୍ଚଦ କରି6ବା
Solution:
ଦର :ABCD ଚହୁକୁଳର ∠DAB ଓ ∠DCB 6କାଣଦ୍ୱଯଉ ପମଦଖଣ୍ଡକ AC¯¯¯¯¯¯¯¯¯ କଣ୍ଡ ରପ6ଭ 6ଚ୍ଚଦ କରି6ବା
ପ୍ତମାତା : △BAD ରେ ∠DAB ର ସମଦିଖଣ୍ଡକ AE−→ |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 10
⇒ ABAD = BEED …..(i)
ଚହୁକୁଳର △BAD ରେ ∠BCD ର ଛେଦକରଚି CE−→ |
⇒ BCCD = BEED ….(ii)
(i) ଓ (ii) ଦ୍ଦ ABAD = BCCD
⇒ ABBC = ADCD (ଏକାନ୍ତର ପ୍ରତଯାଦ୍ଧାରା)
ମରେକର ABC ର ସପଦଖଣୃକ AC କୁ F ଦିନ୍ଦୁରେ 6ଛଦକରେ |
⇒ ABBC = AFFC ⇒ ADDC = AFFC (∵ABBC = ADDC)
⇒ DF¯¯¯¯¯¯¯ , ADC ର ସପଦିଖଣ୍ଡଦ (ପ୍ରମାଣିତ)
Question 9.
△ABC ରେ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ, AC¯¯¯¯¯¯¯ କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଏବଂ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AB¯¯¯¯¯¯¯ କୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । FE¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : △ABC ରେ ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AC¯¯¯¯¯¯¯ କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AB¯¯¯¯¯¯¯ କୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ଓ FE¯¯¯¯¯¯¯ ||BC¯¯¯¯¯¯¯ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : △ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ |
ପ୍ରମାଣ : △ABC ରେ ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AC¯¯¯¯¯¯¯ କୁ E ରେ ଛେଦକରେ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 11
⇒ ACBC = AFFB
ସେହିପରି ∠Cର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AB¯¯¯¯¯¯¯ କୁ F ରେ ଛେଦ କରେ ।
⇒ ACBC = AFFB
FE¯¯¯¯¯¯¯ || BC¯¯¯¯¯¯¯ (ଦତ୍ତ)
⇒ AFFB = AEEC ⇒ ACBC = ABBC
⇒ AB = AC
⇒ △ABC ସପଦିଖଣ୍ଡଦ (ପ୍ରମାଣିତ)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(b)
Question 10.
△ABC ରେ ∠A, ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, BC¯¯¯¯¯¯¯, CA¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AB¯¯¯¯¯¯¯ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ D, E ଓ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ BDDC . CEEA . AFFB = 1
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ରେ ∠A, ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ BC¯¯¯¯¯¯¯, CA¯¯¯¯¯¯¯ ଓ AB¯¯¯¯¯¯¯ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ D, E ଓ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BDDC . CEEA . AFFB = 1
ପ୍ରମାଣ : △ABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BC¯¯¯¯¯¯¯ କୁ D ରେ ଛେଦକରେ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 Img 12
⇒ BDDC = ABAC
ସେହିପରି ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AC¯¯¯¯¯¯¯ କୁ E ରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ CEEA = BCAB
∠Cର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ AB¯¯¯¯¯¯¯ କୁ Fରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ AFFB = ACBC
∴ BDDC × CEEA × AFFB = ABAC × BCAB × ACBC = 1 (ପ୍ରମାଣିତ)
No comments:
Post a Comment