BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

Question 1.

ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) a : b = 3 : 4, b : c = 5 : 6, c : d = 11 : 9 ହେଲେ, a : d = _______ (65 : 84, 30 : 40, 55 : 72, 45 : 63)

ସମାଧାନ:

55 : 72

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

(ii) ab=bc=cd=25 ହେଲେ, ad = ______ (425,52,8125,225)

ସମାଧାନ:

8125

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 1

(iii) p : q :: r : s ହେଲେ, p : r = ______ (q : s, s : q, p : s, q : r)

ସମାଧାନ:

q : s

pq=rs⇒pr=qs

(iv) a : b = 2 : 3 ହେଲେ, (4a + b) : (2a + 3b) = _______ (3 : 5, 5 : 8, 7 : 9, 11 : 13)

ସମାଧାନ:

11 : 13

4a+b2a+3b=4(ab)+12(ab)+3=4×23+12×23+3=8+84+9=1113

∴ (4a + b) : (2a + 3b) = 11 : 13

(v) 2x = 3y = 4z ହେଲେ, x : y : z = ______ (2 : 3 : 4, 6 : 4 : 3, 2 : 3 : 4, 4 : 3 : 2)

ସମାଧାନ:

6 : 4 : 3

2x = 3y = 4z = k (ମନେକର) x = k2, y = k3, z = k4

(x : y : z = k2 : k3 : k4 = 6k : 4k : 3k = 6 : 4 : 3

(vi) x : y = 2 : 5, y : z = 3 : 4 ହେଲେ, x : y : z = _______ (20 : 15 : 6, 6 : 15 : 20, 2 : 5 : 3, 5 : 3 : 4)

ସମାଧାନ:

6 : 15 : 20

xy=25=2×35×3=615,yz=34=3×54×5=1520

∴ x : y : z = 6 : 15 : 20

(vii) 3 : (k + 2) :: 5 : (k + 4) ହେଲେ, k = ________ (2, 4, 1, 6)

ସମାଧାନ:

1

3k+2=5k+4 ⇒ 3 (k + 4) = 5(k + 2)

⇒ 3k + 12 = 5k + 10 ⇒ 2k = 2 ⇒ k = 1

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

Question 2.

ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ବା ଭୁଲ୍ ଦର୍ଶାଅ ।

(i) a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସମସ୍ତ ରାଶି ଏକ ଜାତୀୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।

ସମାଧାନ:

ଭୂଲ

a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସମସ୍ତ ରାଶି ସମଜାତୀୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।

ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ ଅଟେ ।

କାରଣ –2 ମିଟର ଓ 5 ମିଟର ଅନୁପାତ ଯାହା 2 kg ଓ 5 kg, 2 sec ଓ 5 sec, 2 ଟନ୍ ଓ 5 ଟନ୍‌ର ଅନୁପାତ ତାହା । ତେଣୁ ସମାନୁପାତ ପାଇଁ ରାଶିଗୁଡ଼ିକ ସମଜାତୀୟ ହେବାର ଆବଶ୍ୟକତା ନାହିଁ ।

(ii) a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସେମାନେ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ସମାଧାନ:

ଭୂଲ

ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ ଅଟେ ।

କାରଣ – 5, 10, 7, 14 ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ ସେମାନେ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ନୁହଁନ୍ତି ।

ଅଥ।ତ୍ 510≠107≠714

(iii) କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତରେ ସମସ୍ତ ରାଶି ଏକ ଜାତୀୟ ହେବେ ।

ସମାଧାନ:

ଠିକ୍

ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଅଟେ ।

କାରଣ – କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀରେ ପ୍ରଥମ-ଦ୍ୱିତୀୟ, ଦ୍ୱିତୀୟ-ତୃତୀୟ ରାଶି ମଧ୍ୟରେ ପରସ୍ପର ସମ୍ପର୍କ ଥାଏ, ତେଣୁ ରାଶିଗୁଡ଼ିକ ସମଜାତୀୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।

(iv) ଚାରୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରଥମ ଓ ଚତୁର୍ଥର ଅନୁପାତ, ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟର ଘନାନୁପାତ ସହିତ

ସମାଧାନ:

ଠିକ୍

ମନେକର a, b, c ଓ d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ ab=bc=cd ⇒ ac = b2, bd = c2, ad = bc

ପ୍ରମାଣ କରିବା, ad=b3c3

ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ = b3c3=b2⋅bc2⋅c=acbbdc=ad = L.H.S ∴ ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଅଟେ ।

ବିକକ୍ପ ପ୍ରମାଳା ad=ab×bc×cd=(bc)3[∴ab=cd=bc]

(v) ତିନୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଅନୁପାତ, ଦ୍ଵିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟର ବର୍ଗାନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ।

ସମାଧାନ:

ଠିକ୍

ମନେକର a, b ଓ c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ । ପ୍ରମାଣ କରିବା ac=b2c2

a, b ଓ c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ⇒ ab=bc ⇒ b2 = ac

ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ = b2c2=acc2=ac = ବାମପାର୍ଶ୍ବ ∴ ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଅଟେ ।

(vi) ଚାରୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ଵିତୀୟର ଅନୁପାତ, ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ।

ସମାଧାନ:

ଠିକ୍

ମନେକର a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ⇒ ab=bc=cd⇒ab=bc ⇒ b2 = ac

ପ୍ରମାଣ କରିବା ab=a√c√

ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ = a√c√=acc2−−√=b2c2−−√=bc=ab

∴ ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଅଟେ ।

(vii) a, b, c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, a + 2, b + 2, c + 2 ମଧ୍ଯ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ସମାଧାନ:

ଭୂଲ

a, b, c ରାଶିତ୍ରୟ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ a+2b+2=b+2c+2 ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ।

କାରଣ 2, 4, 8 କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ କିନ୍ତୁ 2+24+2≠4+28+2 ∴ ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଟେ ।

(viii) ଚାରୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟସ୍ତାନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ସମାଧାନ:

ଠିକ୍

a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ ab=bc=cd⇒ba=cb=dc

∴ ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଟେ ।

Question 3.

ନିମ୍ନ ରାଶିମାନଙ୍କର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

{ab=cd ରେ ‘d’ ରାଶି a, b, cର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାଢ।}

(i) 5, 7, 15

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x  ∴ 5, 7, 15 ଓ x ସମାନୁପାତୀ

⇒ 57=15x ⇒ 5x = 15 × 7 ⇒ x = 15×75 = 21

∴ ନିର୍ଦେୟ ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ 21 ।

(ii) 0.1, 0.01, 0.001

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x  ∴ 0.1, 0.01, 0.001 ଓ x ସମାନୁପାତୀ

⇒ 0.10.01=0.001x⇒101=11000x ⇒ 10000x =1 ⇒ x = 110000 = 0.0001

∴ ନିର୍ଦେୟ ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ 0.0001 ।

(iii) a, a2b, a2b2

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x  ∴ a, a2b, a2b2 ଓ x ସମାନୁପାତୀ

⇒ aa2b=a2b2x ⇒ ax = a4b3 ⇒ x = a4b3a = a3b3

∴ ନିର୍ଦେୟ ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ a3b3 ।

(iv) a2 – b2, a + b, a – b

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x  ∴ a2 – b2, a + b, a – b ଓ x ସମାନୁପାତୀ

⇒ a2−b2a+b=a−bx⇒(a+b)(a−b)a+b=a−bx ⇒ x = 1

∴ ନିର୍ଦେୟ ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ 1 ।

(v) a2 + 5a + 6, 3a + 6, 4a + 12

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x  ∴ a2 + 5a + 6, 3a + 6, 4a + 12 ଓ x ସମାନୁପାତୀ

⇒ a2+5a+63a+6=4a+12x⇒(a+2)(a+3)3(a+2)=4(a+3)x ⇒ x = 12

∴ ନିର୍ଦେୟ ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ 12 ।

(vi) a3 – b3, a4 + a2b2 + b4, a – b

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x  ∴ a3 – b3, a4 + a2b2 + b4, a – b ଓ x ସମାନୁପାତୀ

⇒ a3−b3a4+a2b2+b4=a−bx⇒(a−b)(a2+ab+b2)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)=a−bx

⇒ x(a – b) = (a – b) (a2 – ab + b2) ⇒ x = a2 – ab + b2

∴ ନିର୍ଦେୟ ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ (a2 – ab + b2) ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

Question 4.

ଦତ୍ତ ରାଶିମାନଙ୍କର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

{ab=cd ହେଲେ a, bର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ c ହେବ ।}

(i) 9, 15

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ∴ 9, 15 ଓ x କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ 915=15x ⇒ 9x = 225 ⇒ x = 2259 ⇒ x = 25

∴ ନିର୍ଦେୟ ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ 25 

(ii) a2b, ab2

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ∴ a2b, ab2 ଓ x କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ a2bab2=ab2x ⇒ x = ab2×ab2a2b = b3

∴ ନିର୍ଦେୟ ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ b3

(iii) x2 – y2, x + y

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ∴ x2 – y2, x + y ଓ x କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ x2−y2x+y=x+ya⇒(x+y)(x−y)x+y=x+ya⇒a=x+yx−y

∴ ନିର୍ଦେୟ ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x+yx−y

(iv) ab+ba,a2+b2−−−−−−√

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ∴ ab+ba,a2+b2−−−−−−√ ଓ x କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ ab+baa2+b2√=a2+b2√x⇒(a2+b2ab) x = a2 + b2 ⇒ x = ab

∴ ନିର୍ଦେୟ ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ ab

Question 5.

ନିମ୍ନ ରାଶିମାନଙ୍କର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

{ab=bc ହେଲେ a ଓ c ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ b }

(i) 9, 25

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ∴ 9, 25 ଓ x କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ 9x=x25 ⇒ x2 = 25 × 9 ⇒ x = ± 15

∴ ନିର୍ଦେୟ ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ ± 15

(ii) 4a2b, 9bc2

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ∴ 4a2b, 9bc2 ଓ x କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ 4a2bx=x9bc2 ⇒ x2 = 36a2b2c2 ⇒ x = ± 6abc

∴ ନିର୍ଦେୟ ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ ± 6abc

(iii) (a – b)(a + b)3, (a + b)(a – b)3

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ∴ (a – b)(a + b)3, (a + b)(a – b)3 ଓ x କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ।

⇒ (a−b)(a+b)3x=x(a+b)(a−b)3 ⇒ x2 = (a – b)4(a + b)4

⇒ x = ± (a – b)2(a + b)2 ⇒ x = + [(a – b)(a + b)]2 = ± (a2 – b2)2

∴ ନିର୍ଦେୟ ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ ± (a2 – b2)2

Question 6.

{a ଓ c ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ b ହେଲେ ab=bc ହେବ ।}

(i) (2 + a) ଓ (5 + a) ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ (3 + a) ହେଲେ, a ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

(2 + a) ଓ (5 + a) ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ (3 + a)

∴ (2 + a), (3 + a) ଓ (5 + a) କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ 

⇒ 2+a3+a=3+a5+a ⇒ (2 + a)(5 + a) = (3 + a)2

⇒ 10 + a2 + 7a = 9 + a2 + 6a ⇒ a = -1 ∴ ର ମାନ -1

(ii) (23 – x), (28 – x) ଓ (19 – x) ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, x ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

(23 – x), (28 – x) ଓ (19 – x) ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ

∴ (28 – x), (23 – x) ଓ (19- x) କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ 

28−x23−x=23−x19−x ⇒ (28 – x)(19 – x) = (23 – x)2

⇒ 532 – 47x + x2 = 529 + x2 – 46x ⇒ -47x + 46x = 529 – 532 ⇒ x = 3

∴ x ର ମାନ 3

(iii) a ଓ c ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ b ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ a2 + b2 ଓ b2 + c2 ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ ab + bc ହେବ ।

ସମାଧାନ:

a ଓ c ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ b [ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଧୟର ଗୁଣଫଳ = ମଧ୍ଯରାଶିର ବର୍ଗ]

∴ a, b ଓ c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ⇒ ab=bc ⇒ b2 = ac

ଆମକୁ ଦର୍ଶାଇବାକୁ ପଡ଼ିବ ଯେ, (a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2

(a2 + b2)(b2 + c2) = (a2 + ac)(ac + c2) [∵ b2 = ac]

= a(a + c) c(a + c) = ac(a + c)2 = b2(a + c)2 = {b(a + c)}2 = (ab + bc)2

∴ a2 + b2 ଓ b2 + c2 ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ (ab + bc)

(iv) ଯଦି b, a ଓ c ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ (ab + bc + ca)3 = abc(a + b + c)3

ସମାଧାନ:

b, a ଓ c ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ ⇒ ab=bc ⇒ b2 = ac

ବାମପାର୍ଶ୍ବ = (ab + bc + ca)3 = (ab + bc + b2)3

= {b (a + b + c))3 = b3 (a + b + c)3

= b2.b(a + b + c)3 = abc (a + b + c)3 = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ

Question 7.

(i) 1, 7, 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ, ଯୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର 1, 7, 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ x ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

⇒ 1+x7+x=7+x17+x ⇒ (7 + x)2 = (1 + x)(17 + x)

⇒ 49 + 14x + x2 ⇒ 14x – 18x = 17 – 49

⇒ -4x = -32 ⇒ 4x = 32 ⇒ x = 8

∴ 1, 7, 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 8 ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(ii) 6, 14, 18 ଓ 38 ପ୍ରତ୍ୟକରେ କେତେ ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର 6, 14, 18 ଓ 38 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ x ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

⇒ 6+x14+x=18+x38+x ⇒ (6+ x)(38 + x) = (18 + x)(14 + x)

⇒ 228 + 44x + x2 ⇒ 44x – 32x = 252 – 228

⇒ 12x = 24 ⇒ x = 2

∴ 6, 14, 18 ଓ 38 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 2 ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(iii) 5, 9 ଓ 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ, ବିୟୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର 5, 9 ଓ 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ x ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

⇒ 5−x9−x=9−x17−x ⇒ (9 – x)2 = (5 – x)(17 – x)

⇒ 85 – 22x + x2 ⇒ 18x – 22x = 81 – 85

⇒ -4x = -4 ⇒ x = 1

∴ 5, 9 ଓ 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 1 ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(iv) 14, 17, 34 ଓ 42 ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର 14, 17, 34 ଓ 42 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ x ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

⇒ 14−x17−x=34−x42−x ⇒ (14 – x)(42 – x) = (34 – x)(17 – x)

⇒ 588 – 56x + x2 ⇒ 56x – 51x = 588 – 578

⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2

∴ 14, 17, 34 ଓ 42 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 2 ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

Question 8.

(i) a : b = 2 : 3 ହେଲେ, (3a + 4b) : (4a + 5b) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 2

(ii) a : b = 3 : 4 ହେଲେ, (6a + 5b): (5a + 4b) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 3

(iii) 581 କୁ a, b, c ତିନୋଟି ଅଂଶରେ ଭାଗ କର ଯେପରି 4a = 5b = 7c ହେବ

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 4

(iv) 6x + 5y : 6x – 5y = 3 : 2 ହେଲେ, 2x + 3y : 2x – 3y ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 5

(v) (a – b) : (a + b) = 1 : 5 ହେଲେ, a2 – b2: a2 + b2 ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 6

Question 9.

a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ

{ଦତ୍ତ a, b, c ଓ d ସମାନୁପାତୀ ab=cd =k (ମନେକର) ⇒ a = bk ଏବଂ c = dk

(i) pa + qc : pb + qd = ma + nc : mb + nd

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 7

(ii) 3a + 4b : 3c + 4d = a2+b2−−−−−−√:c2+d2−−−−−−√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 8

(iii) b2 : d2 = a2 + b2 : c2 + d2

ସମାଧାନ:

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = a2+b2c2+d2=(bk)2+b2(dk)2+d2=b2k2+b2d2k2+d2=b2(k2+1)d2(k2+1)=b2d2

∴ ବାମପକ୍ଷ = ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) b2 : a2 = b2 + d2 : a2 + c2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 9

Question 10.

ab=cd=ef ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) acbd=a2−3c2+5e2b2−3d2+5f2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 10

(ii)  ace bdf=a3+c3+e3b3+d3+f3

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 11

(iii) (a+c+e)3(b+d+f)2=a3b2+c3d2+e3f2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 12

(iv) ab=cd=ef=4a−6c−9e4b−6d−9f

ସମାଧାନ:

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = 4a−6c−9e4b−6d−9f=4bk−6dk−9fk4b−6d−9f=k(4b−6d−9f)4b−6d−9f

= k = ab=cd=ef ବାମପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

(v) (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2) = (ab + cd + ef)2

ସମାଧାନ:

ବାମପକ୍ଷ = (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2) = {(bk)2 + (dk)2 + (fk)2} (b2 + d2 + f2)

= (b2k2 + d2k2 + fk2)(b2 + d2 + f2)

= k2(b2 + d2 + f2)(b2 + d2 + f2) = k2(b2 + d2 + f2)2

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = (ab + cd + ef)2 = (bk.b + dk.d + fk.f)2 = (b2k + d2k + f2k)2

= [k(b2 + d2 + f2)]2 = k2(b2 + d2 + f2)2

∴ ବାମପକ୍ଷ = ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

Question 11.

a, b, c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) a : c = a2 : b2

ସମାଧାନ:

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = a2b2=a2ac=ac = ବାମପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) a : c = (a2 + b2) : (b2 + c2)

ସମାଧାନ:

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = a2+b2b2+c2=a2+acac+c2=a(a+c)c(a+c)=ac = ବାମପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) (a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2

ସମାଧାନ:

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = (a2 + b2) (b2 + c2) = (a2 + ac) (ac + c2) [∵ b2 = ac]

= a(a + c) . c(a + c) = ac(a + c)2 = b2 (a + c)2 = {b(a + c)}2

= (ab + bc)2 = ବାମପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) 2a + 3b : 3a + 2b = 2b + 3c : 3b + 2c

ସମାଧାନ:

ବାମପକ୍ଷ = 2a+3b3a+2b=b(2a+3b)b(3a+2b)=2ab+3b23ab+2b2=2ab+3ac3ab+2ac[∵ b2 = ac]

= a(2b+3c)a(3b+2c)=2b+3c3b+2c = ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.

a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) (b + c)(b + d) = (c + a)(c + d)

ସମାଧାନ:

a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ ⇒ ab=bc=cd ⇒ b2 = ac, c2 = bd ଏବଂ ad = bc

ବାମପକ୍ଷ = (b + c)(b + d) = b2 + bc + bd + cd = ac + bc + bd + cd [∵ b2 = ac]

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = (c + a)(c + d) = c2 + ac + cd + ad = bd + ac + cd + bc (∵ c2 = bd ଓ ad = bc)

∴ ବାମପକ୍ଷ = ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ac=a2−b2+c2b2−c2+d2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 13

(iii) ab+cdab−cd=b2+d2b2−d2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 14

(iv) a – b ଓ c – d ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତ b – c

ସମାଧାନ:

ab=bc−cd ⇒ b2 = ac, c2 = bd ଏବଂ bc = ad

(a – b) ଓ (c – d) ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତ b – c ⇒ a−bb−c=b−cc−d ⇒ (b – c)2 = (a – b)(c – d)

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = (a – b) (c – d) = ac – bc – ad + bd

= b2 – bc – bc + c2 (∴ ac = b2, ad = ac, bd = c2)

= b2 – 2bc + c2 = (b – c)2 = ବାମପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

(v) a2 – b2 ଓ c2 – d2 ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତ b2 – c2

ସମାଧାନ:

ab=bc−cd ⇒ b2 = ac, c2 = bd ଏବଂ bc = ad

a2 – b2 ଓ c2 – d2 ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତ b2 – c2 ⇒ a2−b2b2−c2=b2−c2c2−d2 ⇒ (b2 – c2)2 = (a2 – b2)(c2 – d2)

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ = (a2 – b2)(c2 – d2) = a2c2 – b2c2 – a2d2 + b2d2

= (ac)2 – (ad)2 – (bc)2 + (bd)2 = (b2)2 – b2c2 – b2c2 + (c2)2 [∴ ac = b2, ad = bc ଏବଂ bd = c2]

= b4 – 2b2c2 + c4 = (b2 – c2)2 = ବାମପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

∴ a2 – b2 ଓ c2 – d2 ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତ b2 – c2

(vi) (b – c)2 + (c – a)2 + (b – d)2 = (a – d)2

ସମାଧାନ:

a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ ଅର୍ଥାତ୍ ab=bc=cd = k (ମନେକର)

c = dk, b = ck = dk . k = dk2, a = bk = dk2. k = dk3

ବାମପକ୍ଷ = (b – c)2 + (c – a)2 + (b – d)2

= (dk2 – dk)2 + (dk – dk3)2 + (dk2 – d)2

= {dk(k – 1)}2 + {dk(1 – k2)2 + {d(k2 – 1)}2

= d2k2(k2 + 1 – 2k) + d2k2(1 + k4 – 2k2) + d2(k4 +1 – 2k2)

= d2k4 + d2k2 – 2d2k3 + d2k2 + d2k6 – 2d2k4 + d2k4 + d2 – 2d2k2

= d2k6 + d2 – 2d2k3 = (dk3)2 + (d)2 – 2. 2 . dk3 . d

= (dk3 – d)2 = (a – d)2 ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ : ab=bc−cd ⇒ b2 = ac, c2 = bd ଏବଂ bc = ad

ବାମପକ୍ଷ = (b – c)2 + (c – a)2 + (b – d)2 = b2 + c2 – 2bc + c2 + a2 – 2ca + b2 + d2 – 2bd

= 2b2 – 2ac + 2c2 – 2bd + a2 + d2 – 2bc

= 2ac – 2ac + 2bd – 2bd + a2 + d2 – 2ad = a2 + d2 – 2ad = (a – d)2 = ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ

Question 13.

(i) x = 2aba+b ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ x+ax−a+x+bx−b = 2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 15

(ii) x = 6aba+b ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ x+3ax−3a+x+3bx−3b = 2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 16

(iii) x = 8aba+b ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ x+4ax−4a+x+4bx−4b = 2

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 17

Question 14.

(i) x + y, y + z, x – y, y – z ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ x, y, z କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 18

(ii) xb+c=yc+a=za+b ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ (b – c) x + (c – a) y + (a – b) z = 0

ସମାଧାନ:

xb+c=yc+a=za+b = k (ମନେକର)

⇒ x = k(b + c), y = k(c + a) z = k(a + b)

ବାମପକ୍ଷ = (b – c) x + (c – a) y + (a – b) z

= (b – c) {k(b + c)} + (c – a) {k(c + a)} + (a – b) {k(a + b)}

= k(b + c)(b – c) + k(c + a)(c – a) + k(a + b)(a – b)

= k(b2 – c2) + k(c2 – a2) + k(a2 – b2)

= k(b2 – c2 + c2 – a2 + a2 – b2) = k . 0 = 0 = ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) xb2+bc+c2=yc2+ca+a2=za2+ab+b2 ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ (b – c) x + (c – a) y + (a – b) z = 0

ସମାଧାନ:

xb2+bc+c2=yc2+ca+a2=za2+ab+b2 = k(ମନେକର)

⇒ x = k(b2 + bc + c2), y = k(c2 + ca + a2) ଏବଂ z = k(a2 + ab + b2)

∴ ବାମପକ୍ଷ = (b – c) x + (c – a) y + (a – b) z

= (b – c) {k(b2 + bc + c2)} + (c – a) {k(c2 + ca + a2) } + (a – b) {k(a2 + ab + b2)}

= k(b – c)(b2 + bc + c2) + k(c – a)(c2 + ca + a2) + k(a – b)(a2 + ab + b2)

= k(b3 – c3) + k(c3 – a3) + k(a3 – b3)

= k(b3 – c3 + c3 – a3 + a3 – b3) = k.0 = 0 = କ୍ଷିଣପକ୍ଷ (ପ୍ରମାଣିତ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

Question 15.

ସ୍ମୃତି, ସୃଷ୍ଟିଠାରୁ ଦୁଇବର୍ଷ ବଡ଼ । ଦଶ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ସୃଷ୍ଟି ଓ ସ୍ଥିତିର ବୟସର ଅନୁପାତ 1 : 2 ଥିଲା । ବର୍ତ୍ତମାନ ସେମାନଙ୍କର ବୟସ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସୃଷ୍ଟିର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ x ବର୍ଷ । ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ସ୍ନିତିର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ (x + 2) ବର୍ଷ ।

ଦଶ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ସୃଷ୍ଟିର ବୟସ ଥିଲା = (x – 10) ବର୍ଷ |

ଦଶ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ସ୍ମୃତିର ବୟସ ଥିଲା = (x + 2) – 10 = (x – 8) ବର୍ଷ ।

ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, x−10x−8=12 ⇒ 2(x – 10) = x – 8 ⇒ 2x – 20 = x – 8

⇒ 2x – x = 20 – 8 ⇒ x = 12

∴ ସୃଷ୍ଟିର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = 12 ବର୍ଷ ଓ ସ୍ନିତିର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = x + 2 = 12 + 2 = 14 ବର୍ଷ ।

Question 16.

ଚାରିବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ଅନିଲ ଓ ସୁନିଲ୍‌ର ବୟସର ଅନୁପାତ 3 : 5 ଥିଲା । ଚାରିବର୍ଷ ପରେ ଏହି ଅନୁପାତ 5 : 7 ହେବ ।  ବର୍ତ୍ତମାନ କାହାର ବୟସ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚାରିବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ଅନିଲ୍ ଓ ସୁନିଲ୍‌ର ବୟସ ଯଥାକ୍ରମେ 3x ଏବଂ 5x ବର୍ଷ ଥିଲା । 

ବର୍ତ୍ତମାନ ଅନିଲ୍ ଓ ସୁନିଲ୍‌ର ବୟସ ଯଥାକ୍ରମେ (3x + 4) ଓ (5x + 4) ବର୍ଷ ।

4 ବର୍ଷ ପରେ ଅନିଲ୍ସର ବୟସ ହେବ = (3x + 4 + 4) ବର୍ଷ = (3x + 8) ବର୍ଷ । 

4 ବର୍ଷ ପରେ ସୁନିଲ୍‌ର ବୟସ ହେବ = (5x + 4 + 4) ବର୍ଷ = (5x + 8) ବର୍ଷ ।

କିନୁ 3x+85x+8=57 ⇒ 5(5x + 8) = 7(3x + 8)

⇒ 25x + 40 = 21x + 56 ⇒ 25x – 21x = 56 – 40 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4

∴ ଅନିଲ୍‌ର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = 3x + 4 = 3 × 4 + 4 = 16 ବର୍ଷ

ସୁନିଲ୍‌ର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = 5x + 4= = 5 × 4 + 4 = 24 ବର୍ଷ ।

Question 17.

1400 ଜଣ ଛାତ୍ର ଥ‌ିବା ଗୋଟିଏ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଛାତ୍ର ଓ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ 35 : 2 ଅଟେ । ଆଉ ଅଧିକ କେତେଜଣ ଶିକ୍ଷକ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଯୋଗଦେଲେ ଏହି ଅନୁପାତ 25 : 2 ହେବ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବର୍ତ୍ତମାନ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟା x

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 1400x=352 ⇒ 35x = 2800 x = 280035 = 80

ମନେକର ଆଉ y ଜଣ ଶିକ୍ଷକ ଯୋଗଦେଲେ ଛାତ୍ର ଓ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ 25 : 2 ହେବ ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 140080+y=252 ⇒ 25(80 + y) = 2800 ⇒ 2000 + 25y = 2800

⇒ 25y = 2800 – 2000 = 800 ⇒ y = 80025 = 32

∴ ଅଧ୍ଵକ 32 ଜଣ ଶିକ୍ଷକ ଯୋଗଦେଲେ ଛାତ୍ର ଓ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ 25 : 2 ହେବ ।

Question 18.

60 ଲିଟର ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀର ଓ ଜଳର ଅନୁପାତ 2 :1 । ସେଥ‌ିରେ ଆଉ କେତେ ଲିଟର ଜଳ ମିଶାଇଲେ ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀର ଓ ଜଳର ଅନୁପାତ 8: 5 ହେବ ?

ସମାଧାନ:

60 ଲିଟର ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀର ଓ ଜଳର ଅନୁପାତ 2 : 1 ।

ମନେକର 60 ଲିଟର ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀରର ପରିମାଣ 2x ଲିଟର ଓ ଜଳର ପରିମାଣ x ଲିଟର ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 2x + x = 60 ⇒ 3x = 60 = x ⇒ 603 = 20

ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀରର ପରିମାଣ = 2 × 20 = 40 ଲିଟର ଓ ଜଳର ପରିମାଣ 20 ଲିଟର । 

ମନେକର ମିଶ୍ରଣରେ ଆଉ y ଲିଟର ଜଳ ମିଶାଇଲେ କ୍ଷୀର ଓ ଜଳର ଅନୁପାତ 8 : 5 ହେବ ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 4020+y=85 ⇒ 160 + 8y = 200 ⇒ 8y = 40 ⇒ y = 5

∴ 5 ଲିଟର ଜଳ ମିଶାଇଲେ ନୂତନ ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀର ଏବଂ ଜଳର ଅନୁପାତ 8 : 5 ହେବ ।

Question 19.

A ଓ B ଆୟର ଅନୁପାତ 3 : 2 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟୟର ଅନୁପାତ 5 : 3 ଅଟେ । ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ 1500 ଟଙ୍କା ସଞ୍ଚୟ କରୁଥ‌ିବେ, ତେବେ B ର ଆୟ କେତେ?

ସମାଧାନ:

A ଓ B ର ଆୟର ଅନୁପାତ 3 : 2 । ମନେକର A ଓ B ର ଆୟ ଯଥାକ୍ରମେ 3x ଟଙ୍କା ଏବଂ 2x ଟଙ୍କା ।

A ର ସଞ୍ଚୟ = B ର ସଞ୍ଚୟ = 1500 ଟଙ୍କା

A ର ବ୍ୟୟ = (3x – 1500) ଟଙ୍କା ଓ B ର ବ୍ୟୟ = (2x – 1500) ଟଙ୍କା

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 3x−15002x−1500=53 ⇒ 5(2x – 1500) = 3(3x – 1500)

⇒ 10x – 7500 = 9x – 4500 ⇒ 10x – 9x = 7500 – 4500 ⇒ x = 3000

∴ B ର ଆୟ = 2x = 2 × 3000 = 6000 ଟଙ୍କା ।

Question 20.

{ab, cd, ef ର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ = acebdf}

(i) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 3 : 4 ର ବର୍ଗାନୁପାତ, 15 : 17 ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ ଏବଂ 25 : 49 ର ବର୍ଗମୂଳାନୁପାତର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ 51 : 112 ହେବ ।

ସମାଧାନ:

3 : 4 ର ବର୍ଗାନୁପାତ = (34)2=916, 15 : 17 ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ = 1715

25 : 49 ର ବର୍ଗମୂଳାନୁପାତ = 2549−−√=57

∴ ଏମାନଙ୍କର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ = 916×1715×57=51112

(ii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 7 : 6 ର ବର୍ଗାନୁପାତ, 125 : 343 ର ଘନମୂଳାନୁପାତ ଏବଂ 35 :36 ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ 1:1 ହେବ ।

ସମାଧାନ:

7 : 6 ର ବର୍ଗାନୁପାତ =(76)2=4936, 125 : 343 ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ = 125343−−−√3=57

35 : 36 ର ବର୍ଗମୂଳାନୁପାତ = 3635

∴ ଏମାନଙ୍କର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ = 4936×57×3635 = 1 : 1

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6

Question 21.

120 ଟଙ୍କାକୁ A, B ଓ C ମଧ୍ୟରେ ଏପରି ବାଣ୍ଟିଦିଅ ଯେପରି ସେମାନେ ପାଉଥ‌ିବା ଟଙ୍କାରୁ ଯଥାକ୍ରମେ 15 ଟଙ୍କା, 10 ଟଙ୍କା ଓ 5 ଟଙ୍କା କମାଇ ଦେଲେ ସେମାନଙ୍କର ଅବଶିଷ୍ଟ ଟଙ୍କା 2, 3, 4 ସହ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର 120 ଟଙ୍କା ମଧ୍ୟରୁ A, B ଓ C ଯଥାକ୍ରମେ x ଟଙ୍କା, y ଟଙ୍କା ଏବଂ z ଟଙ୍କା ପାଇବେ । 

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x + y + z = 120    …..(i)

A ଟଙ୍କାରୁ 15 ଟଙ୍କା, B ଟଙ୍କାରୁ 10 ଟଙ୍କା ଓ C ଟଙ୍କାରୁ 5 ଟଙ୍କା କମାଇ ଦେଲେ ପରେ ଅବଶିଷ୍ଟ ଟଙ୍କାର ଅନୁପାତ

x – 15 ; y – 10 : z – 5

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x – 15 : y – 10 : z – 5 = 2 : 3 : 4

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 19

‘y’ ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ 3x – 2 × 40 = 25 ⇒ 3x = 105 ⇒ x = 1053

∴ z = 120 – (35 + 40) = 45

∴ x, y, z ଯଥାକ୍ରମେ 35 ଟଙ୍କା, 40 ଟଙ୍କା ଏବଂ 45 ଟଙ୍କା ପାଇବେ ।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:

ମନେକର A ଟଙ୍କାରୁ 15 ଟଙ୍କା, B ଟଙ୍କାରୁ 10 ଟଙ୍କା ଓ C ଟଙ୍କାରୁ 5 ଟଙ୍କା କମାଇ ଦେଲାପରେ ଅବଶିଷ୍ଟ ଟଙ୍କା ଯଥାକ୍ରମେ 2x, 3x ଏବଂ 4x 

∴ A ର ଭାଗ, B ର ଭାଗ ଏବଂ C ର ଭାଗ ଥୁବା ଟଙ୍କାର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ

2x+15, 3x + 10 ଏବଂ 4x+5 ଟଙ୍କା

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ,  2x+15+ 3x + 10 + 4x + 5 = 120

⇒ 9x + 30 = 120 ⇒ 9x = 90 ⇒ x = 10

∴ A ର ଭାଗ = 2x + 15 = 2 x 10 + 15 = 35 ଟଙ୍କା

B ର ଭାଗ = 3x + 10 = 3 × 10 + 10 = 40 ଟଙ୍କା

C ର ଭାଗ = 4x + 5 = 4 × 10 + 5 = 45 ଟଙ୍କା

Question 22.

ତିନିଶ୍ରେଣୀ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଅଷ୍ଟମ, ନବମ ଓ ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ର ଓ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ ଯଥାକ୍ରମେ 2 : 3, 3 : 7 ଓ 7 : 8 । ପ୍ରତି ଶ୍ରେଣୀରେ ଯଦି ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ଛାତ୍ର, ଛାତ୍ରୀ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଛାତ୍ର ଓ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଅଷ୍ଟମ ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ରୀ ଓ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ 2x ଏବଂ 3x, ନବମ ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ରୀ ଓ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ 3y ଏବଂ 7y ଏବଂ ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ରୀ ଓ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ 7z ଏବଂ 8z 

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 20

Question 23.

ସମାନୁପାତ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ତଥ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରୟୋଗରେ ସମାଧାନ କର ।

(i) 3x√+2x+1√3x√−2x+1√ = 5

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 21

(ii) 3x+1√+x+1√3x+1√−x+1√ = 4

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 22

(iii) a+x√+a−x√a+x√−a−x√ = b

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ Ex 6 23