BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 1.

ନିମ୍ନଲିଖତ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସଂଜ୍ଞା ଲେଖ ।

କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣ, ପ୍ରତୀପ କୋଣ, ପରିପୂରକ କୋଣ, ଅନୁପୂରକ କୋଣ ।

ସମାଧାନ:

କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ:

∠ABC ର BC←→ ର A – ପାର୍ଶ୍ବ AB←→ ର C – ପାର୍ଶ୍ଵର ଛେଦକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ କୁହାଯାଏ । ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ P, ∠ABC ର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତସ୍ଥ  ବିନ୍ଦୁ ଅଟେ । ଏହିପରି ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁକୁ ନେଇ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଗଠିତ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 1

ସନ୍ନିହିତ କୋଣ: 

ଦୁଇଟି କୋଣର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ଓ କୋଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ୟ ବାହୁ ଦୁଇଟି ସାଧାରଣ ବାହୁର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ବିସ୍ତୃତ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ସନ୍ନିହିତ କୋଣ (Adjacent angles) କୁହାଯାଏ ।

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠PSQ ଓ ∠QSR ସନ୍ନିହିତ ଅଟନ୍ତି ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 2

ପ୍ରତୀପ କୋଣ:

ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ଗଠିତ କୋଣକୁ ଉକ୍ତ  କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ (Vertically OppositeAngle) କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠BOC ଓ ∠AOD ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଏବଂ ∠AOC ଓ ∠BOD  ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଅଟନ୍ତି ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 3

ପରିପୂରକ କୋଣ:

ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମିର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ପରି ପୂରକ (Supplementary angle); ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ଅଟେ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 4

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠BCD = 180° ଅର୍ଥାତ୍ ∠ACD ଓ ∠BCD ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ଅଟନ୍ତି ।

ଅନୁପୂରକ କୋଣ:

 ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ କୋଣ (Complementary angles) କୁହାଯାଏ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 2.

ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ବାହୁ ଥାଏ ?

ସମାଧାନ:

ଦୁଇଟି

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ସମାଧାନ:

ଗୋଟିଏ

(ii) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ସମାଧାନ:

ଅସଂଖ୍ୟ

(iv) କୋଣ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ସମାଧାନ:

କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ନଥାଏ

Question 3.

ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ତାଲିକାରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ଦର୍ଶାଅ ।

(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 

(ii) ରଶ୍ମି

(iii) ରେଖା

(iv) କୋଣ

(v) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦ୍ଦେଶ 

(vi) ସମତଳ

(vii) କୋଣର ବହିର୍ଦେଶ

ସମାଧାନ:

(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 

(ii) ରଶ୍ମି 

(iii) ରେଖା 

(v) କୋଣର ଅନ୍ତଦ୍ଦେଶ ଓ 

(vi) ସମତଳ

Question 4.

ତିନୋଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରୁଥିବାର ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରକୁ ଦେଖ୍ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

ସମାଧାନ:

ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଯୋଡ଼ା:

(i) ∠EAD ଓ ∠BAC

(ii) ∠EAB ଓ ∠CAD

(iii) ∠FBG ଓ ∠ABC

(iv) ∠FBA ଓ ∠GBC

(v) ∠ICH ଓ ∠ACB

(vi) ∠ACI ଓ ∠BCH

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 5

Question 5.

ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥ‌ିବାର ଚିତ୍ରଟିଏ ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରରୁ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

(i) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD

(ii) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠BOC

(ii) ∠BOCର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠COD

(iv) ∠CODର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 6

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 6.

XY ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N-ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ M-ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, BM ଓ NC ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ରହିବେ ?

ସମାଧାନ:

 (i) XY←→ (ସରଳରେଖା)ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।

(ii) ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଓ M ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।

(iii) ଚିତ୍ରରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, BM¯¯¯¯¯¯¯¯ ଓ NC¯¯¯¯¯¯¯ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ XY←→ ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅଛନ୍ତି ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 7

Question 7.

ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ । ଆବଶ୍ୟକସ୍ଥଳେ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

(i) X ବିନ୍ଦୁ AB←→ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ନ ହେଲେ ଓ A – O – B ହେଲେ,

m∠XOA + m∠XOB କେତେ ?

ସମାଧାନ:

m∠XOA + m∠XOB = 180°

( ∵ ∠XOA ଏବଂ ∠XOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 8

(ii) AB←→ ଓ CD←→ ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ, ∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ

କେଉଁଟି ?

ସମାଧାନ:

AB←→ ଓ CD←→ ଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।

∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠BOD ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 9

(iii) m∠AOB ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ m∠AOC = x ଓ m∠AOB = y ହେଲେ, m∠BOC କେତେ ?

ସମାଧାନ:

m∠AOB ର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ C NC

m∠AOC = x ଏବଂ m∠AOB = y

∴ m∠BOC = m∠AOB – m∠AOC = y – x

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 10

(iv) ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥ‌ିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 30° ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବ ?

ସମାଧାନ:

AB←→ ଓ CD←→ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ମନେକର m∠BOC = 30°

m∠BOC = m∠AOD (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)

m∠AOD ର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 30° = 150° (∵ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 180° ।)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 11

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 8.

(i) m∠AOB = x ଓ∠AOB ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ 2x° ହେଲେ xର ମାନ ଡିଗ୍ରୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମାଧାନ:

m∠AOB = x

m∠AOB କୋଣର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 2x

⇒ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 90°- x = 2x

⇒ 2x + x = 90°

⇒ 3x = 90°

⇒ x = 90∘3 = 30°

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣରୁ 18° ଅଧିକ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର କୋଣ ଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଏବଂ 2θ + 18° ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ କୌଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ । ଅର୍ଥାତ୍ θ + 2θ + 18° = 180°

⇒ 3θ = 180° – 18° = 162°

⇒ θ = 1623 = 54°

∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = 2θ + 18° = 2 × 54 + 18 = 108 + 18 = 126°

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:

ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°) ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = 2(180°- θ) + 18°

⇒ θ = 360° – 2θ + 18°

⇒ 3θ = 378°

⇒ θ = 3783 = 126°

(iii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଏକପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ କୋଣଟିର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ θ ଏବଂ θ5 ।

ପ୍ରଶାନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।

⇒ θ + θ5 = 180° 

⇒ 5θ+θ5 = 180°

⇒ 6θ = 180° × 5

⇒ 180∘×56 = 150°

∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ5 = 150∘5 = 30°

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:

ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°)

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = 180∘−θ5 

⇒ 5θ = 180° – θ

⇒ 6θ = 180°

⇒ θ = 30°

(iv) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 4 : 5 ହେଲେ, କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 4θ ଓ 5θ ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 4θ + 5θ = 180° 

9θ = 180° 

θ = 1809 = 20°

∴ 4θ = 4 × 20° = 80° ଓ 5θ = 5 × 20° = 100°

∴ ନିର୍ଦେୟ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 80° ଓ 100° ।

(v) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ 20° କମ୍ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ – 20° ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।

⇒ θ + θ – 20° = 180°

⇒ 20 = 180° + 20°

⇒ θ = 2002 = 100°

∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ – 20° = 100° – 20° = 80°

(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନ୍ତର 30° ହେଲେ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର କୋଣଦ୍ବୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ + 30° ।

θ + θ + 30° = 180°

⇒  2θ + 30° = 180°

⇒ 2θ = 180° – 30°

⇒ θ = 1502 = 75°

∴ ବୃହତ୍ତର ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ + 30° = 75° + 30° = 105° ।

(vii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣ ପରିମାଣର ଏକ-ପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ: 

ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ x° ।

ଏହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (90 – x°) ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x = 90−x5

⇒ 5x = 90 − x

6x = 90

⇒ x = 906 = 15°

∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 15° ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 9.

ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସାରେ x ର ମାନ କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 12

ସମାଧାନ:

(i) ଚିତ୍ର (କ) ରେ ∠AOC ଓ ∠BOC ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠AOC + m∠BOC = 180°

⇒ 3x + 2x = 180

⇒ 5x = 180

⇒ x = 1805 = 36

∴ x = 36°

(ii) ଚିତ୍ର (ଖ) ରେ ∠PRS ଓ ∠ORS ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠PRS + m∠QRS = 180°

(x – 4) + (3x + 8) = 180

⇒ 4x + 4 = 180

⇒ 4x = 180 – 4

⇒ x = 1764 = 44

∴ x = 44°

(iii) ଚିତ୍ର (ଗ) ରେ m∠MOP + m∠POQ + m∠QON = 180°

⇒ (x + 20) + (2x – 30) + (x + 10) = 180°

⇒ 4x = 180°

⇒ x = 1804 = 45°

∴ x = 45°

Question 10.

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ AB←→ ଓ CD←→ ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

m∠COE = 90° ହେଲେ x, Y ଓ z ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

m∠AOC = m∠BOD (ପ୍ରତୀପ) ⇒ 2x = y

ସେହିପରି m∠AOD = m∠BOC (ପ୍ରତୀପ)

⇒ z = 90° + x (∴ m∠COE = 90°)

 m∠AOC + m∠AOD = 180°

⇒ 2x + 90° + x = 180°

⇒ 3x = 90°

⇒ x = 30° (∵ m∠AOD = 90° + x)

y = 2x = 2 × 30° = 60°,

z = 90° + x = 90° + 30° = 120°

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 13

Question 11.

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ PQ←→ ଓ RS←→ ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଓ m∠POC = 75° ହେଲେ, a, b ଏବଂ c ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

∠ROP ଓ ∠POS ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ,

m∠ROP + m∠POS = 180°

⇒ m∠ROP + m∠POC + m∠COS = 180°

⇒ 4b + 75° + b = 180°

⇒ 5b + 75° = 180°

⇒ 5b = 180° – 75° = 105°

⇒ b = 1055 = 21°

m∠QOS = m∠ROP (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) 

⇒ a = 4b = b × 21 = 84°

∠ROQ ଓ ∠QOS  m∠ROQ + m∠QOS = 180°

⇒ 2c + a = 180°

⇒ 2c + 84° = 180°

⇒ 2c = 180° – 84° = 96°

∴ c = 96°2 =48°

∴ a = 84°, b = 21°, c = 48°

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 14

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 12.

ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ପ୍ରତୀପ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେବେ । 

ସମାଧାନ:

 ଦତ୍ତ : AB←→ ଓ CD←→ ରେଖାଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।

OM−→− ଏବଂ ON−→− ଯଥାକ୍ରମେ ∠AOC ଓ ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OM−→− ଏବଂ ON−→− ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ :  m∠AOC + m∠AOD = 180°

⇒ 12m∠AOC + 12m∠AOC + m∠AOD = 180°

(∵ m∠AOC = 12m∠AOC + 12m∠AOC)

12m∠AOC + 12m∠BOD + m∠AOD = 180°

m∠AOM + m∠DON + m∠AOD = 180°

m∠AOM + m∠AON = 180°

OM−→− ଓ ON−→− ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି । 

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 15 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.

ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।

OM ଓ ON ଯଥାକ୍ରମେ ∠BOC ଏବଂ ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OM−→−⊥ON−→− ଅର୍ଥାତ୍ m∠MON = 90°

ପ୍ରମାଣ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।

⇒ m∠AOC +m∠BOC = 180°

⇒ 12m∠AOC + 12m∠BOC = 12 × 180°

⇒ m∠CON + m∠COM = 90° (∵ OM−→−, ∠BOC ର ଏବଂ ON−→−, ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)

⇒ m∠MON = 90°

∴ OM−→−⊥ON−→−

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 16 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ଓ OC−→−, ∠AOC କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ ।

m∠COD = 90° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, OD−→−, ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେବ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।

OC−→−, ∠AOE କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ଏବଂ m∠COD = 90° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OD−→−, ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରମାଣ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।

⇒ m∠AOE + m∠EOB = 180°

⇒ 12m∠AOE + 12∠EOB = 90°

⇒ m∠COE + 12m∠EOB = 90° … (i)

କିନ୍ତୁ mZCOD = 90° (ଦତ୍ତ)

∴ m∠COE + m∠EOD = 90° … (ii)

⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠COE + 12m∠EOB = m∠COE + m∠EOD

⇒ 12m∠EOB = m∠EOD

⇒ OD−→−, ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । 

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 17 (ପ୍ରମାଣିତ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 15.

AB←→ ଓ CD←→ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ OX−→− । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, XO←→ କୋଣ BOD କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : AB←→ ଓ CD←→ ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

OX−→−, ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

OX−→− ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OY−→− ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OY−→−, ZBOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରମାଣ : OX−→− ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OY ହେତୁ ଏକ ସରଳରେଖା XY←→

ଏବଂ AB←→ ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 

⇒ m∠AOX = m∠BOY (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)

ପୁନଶ୍ଚ, XY←→ ଏବଂ CD←→ ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 

⇒ m∠XOC = m∠YOD (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)

OX−→−, ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ।

⇒ m∠A0X = m∠XOC

⇒ m∠BOY = m∠YOD (∵ ∠AOX = ∠BOY ଏବଂ ∠XOC = ∠YOD)

∴ OY−→−, ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 18 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.

OA−→−, OB−→−, OC−→− ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ରଶି । କୌଣସି ରଶି ଅନ୍ୟ ରଶି ଦଇଟି ଦାରା ଗଠିତ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ବିସ୍ତୃତ ନୁହେଁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠AOB + m∠BOC + m∠COA =360°

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : OA−→−, OB−→− ଓ OC−→− , O ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ରଶ୍ମି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOB + m∠BOC + m∠AOC = 360°

ଅଙ୍କନ : OA−→− ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OD−→− ଏବଂ OB−→− ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OE−→− ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ : m∠AOE +m∠EOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)

⇒ m∠AOE + m∠EOC + m∠COD = 180° … (i)

[∵ m∠EOD = m∠EOC + m∠COD]

ସେହିପରି m∠AOB + m∠BOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) … (ii) 

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)କୁ ଯୋଗକଲେ,

m∠AOE + m∠EOC + m∠COD + m∠AOB + m∠BOD = 180° + 180°

⇒ m∠AOB + (m∠BOD + m∠DOC) + (m∠AOE + m∠EOC) = 360°

⇒ m∠AOB + m∠BOC + m∠COA = 360°

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 19  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ OE−→−, ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି । OF−→, OE−→− ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ,

m∠BOF = m∠AOF l

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : OE−→−, ∠AOB ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ । OF−→ ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OE−→− l

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BOF=m∠AOF

ପ୍ରମାଣ : ∠BOF ଏବଂ ∠BOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।

⇒ m∠BOF + m∠BOE = 180° … (i)

ପୁନଶ୍ଚ, ∠AOF ଏବଂ ∠AOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।

⇒ m∠AOF + m∠AOE = 180° … (ii)

⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠BOF + m∠BOE = m∠AOF + m∠AOE

⇒ m∠BOF = m∠AOF (∵OE−→−, ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) 20  (ପ୍ରମାଣିତ)