BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

Question 1.

ନିମ୍ନଲିଖତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ନିଶ୍ଚୟ କର ।

(i) 3x2 – 4x = -4x + 5

ସମାଧାନ:

ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 2 ତାହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଅଟେ ।

3x2 – 4x = -4x + 5 ⇒ 3x2 – 5 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(ii) x3 – 2x2 + 4 = x3 + 2x

ସମାଧାନ:

x3 – 2x2 + 4 = x3 + 2x

⇒ -2x2 – 2x + 4 = 0 ⇒ 2x2 + 2x – 4 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(iii) x + 3x = x2 (x ≠ 0)

ସମାଧାନ:

x + 3x = x2 + 3 = x3 ⇒ x3 – x2 – 3 = 0

(ଏହି ସମୀକରଣଟିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 3 ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ।)

(iv) x + 1x = 2 (x ≠ 0)

ସମାଧାନ:

x + 1x = 2 ⇒ x2+1x ⇒ x2 + 1 = 2x ⇒ x2 – 2x + 1 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(v) (x + 3)2 = 0

ସମାଧାନ:

(x + 3)2 = 0 ⇒ x2 + 6x + 9 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(vi) 1x x2 + 32 x – 54 = 0

ସମାଧାନ:

1x x2 + 32 x – 54 = 0

⇒ 2x2+6x−54 ⇒ 2x2 + 6x – 5 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(vii) 3x2 = 2x + 7

ସମାଧାନ:

3x2 = 2x + 7 ⇒ 3x2 – 2x – 7 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(viii) (3x + 2)2 – (x + 4)2 = (x – 3)

ସମାଧାନ:

(3x + 2)2 – (x + 4)2 = (x – 3)

⇒ 9x2 + 4 + 6x- x2 – 16 – 8x = x- 3 ⇒ 8x2 – 2x – 12 = x – 3

⇒ 8x2 – 3x – 9 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(ix) 7x2 + 9 = 0

ସମାଧାନ:

7x2 + 9 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

(x) 4x = 3 + 6x2

ସମାଧାନ:

4x = 3 + 6x2 ⇒ 6x2 – 4x + 3 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

Question 2.

ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ସମୀକରଣ ସିଦ୍ଧ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ତାଙ୍କର ମୂଳଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ।

(i) x2 – 3x = 0 (0, 1, 2, 3)

ସମାଧାନ:

x2 – 3x = 0 ⇒ x (x – 3) = 0

⇒ x = 0 ବା x = 3 ∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 0 ଓ 3 ‍।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।

x2 – 3x = 0 (0 ଓ 3 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(ii) 3x2 – 12 = 0 (1, -1, 2, -2)

ସମାଧାନ:

3x2 – 12 = 0 ⇒ 3x2 = 12 ⇒ x2 = 4

⇒ x = ±√4 = ± 2 ∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ -2 ‍।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।

3x2 – 12 = 0 (2 ଓ -2 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(iii) x2 – 3x + 2 = 0 (0, 1, 2, 3)

ସମାଧାନ:

x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0

⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0

⇒ (x – 2)(x + 1) ⇒ x – 2 = 0 ବା x – 1 = 0 ⇒ x = 2 ବା x = 1

∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ 1 ‍।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।

x2 – 3x + 2 = 0 (2 ଓ 1 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(iv) x2 + √2x – 4 = 0 (√2, -√2, 2√2, -2√2)

ସମାଧାନ:

x2 + √2x – 4 = 0 ⇒ x2 + 2√2x – √2x – 4 = 0

⇒ x (x + 2√2) – √2 (x + 2√2 ) = 0

(x + 2√2) (x – √2) = 0 ⇒ x + 2√2 =0 ବା x – √2 = 0

x = -2√2, x = √2

∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ -2√2 ଓ √2 ‍।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।

x2 + √2x – 4 = 0 (-2√2 ଓ √2 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(v) x2 – x – 2 = 0 (1, 0, -1, 2)

ସମାଧାନ:

x2 – x – 2 ⇒ x2 – 2x + x – 2 = 0 ⇒ x (x – 2) + 1(x – 2) = 0

⇒ (x – 2) (x + 1) = 0 ⇒ x – 2 = 0 ବା x + 1 = 0 ⇒ x = 2 ବା x = -1

∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ -1 ‍।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।

x2 – x – 2 = 0 (2 ଓ -1 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

Question 3.

ସମାଧାନ କର :

(i) 7x2 = 128

ସମାଧାନ:

7x2 = 128

⇒ x2 = 1196

⇒ x = ± 1196−−−√=±114

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 114 ଓ −114 ।

(ii) 5x2 = 3x

ସମାଧାନ:

5x2 = 3x

⇒ 5x2 – 3x = 0

⇒ x (5x – 3) = 0

⇒ x = 0 କିମ୍ବ। 5x – 3 = 0

⇒ x = 0 କିମ୍ବ। x = 34

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 0 ଓ 34 ।

(iii) x2 – 3x + 2 = 0

ସମାଧାନ:

x2 – 3x + 2 = 0

⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0

⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0

⇒ (x – 2) (x – 1) = 0

⇒ x -2 = 0 କିମ୍ବ। x – 1 = 0

⇒ x = 2 କିମ୍ବ। x = 1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 2 ଓ 1

(iv) (x + 1) (x + 2) = 30

ସମାଧାନ:

(x + 1) (x + 2) = 30

⇒ x2  + x + 2x + 2 – 30 = 0

⇒ x2  + 3x – 28 = 0

⇒ x2  + 7x – 4x – 28 = 0

⇒ x (x + 7) – 4 (x + 7) = 0

⇒ (x + 7) (x – 4) = 0

⇒ x + 7 = 0 କିମ୍ବ। x – 4 = 0

⇒ x = -7 କିମ୍ବ। x = 4

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ -7 ଓ 4

(v) √3x2 – x – 2√3 = 0

ସମାଧାନ:

√3x2 – x – 2√3 = 0

⇒ √3x2 – 3x + 2x – 2√3 = 0

⇒ √3x (x – √3) + 2 (x – √3) = 0

⇒ (x – √3)(√3x + 2) = 0

⇒ x – √3 = 0 √3x +2 = 0

⇒ x = √3 କିମ୍ବ। x = −23√

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ √3 ଓ −23√

(vi) 2x2 – 5x – 3 = 0

ସମାଧାନ:

2x2 – 5x – 3 = 0

⇒ 2x2 – 6x + x – 3 = 0

⇒ 2x (x – 3) + 1 (x – 3) = 0

⇒ (x – 3) (2x + 1) = 0

⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବ। 2x + 1 = 0

⇒ x = 3 କିମ୍ବ। x = −12

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 3 ଓ −12 

(vii) x2 + ax = 2a2

ସମାଧାନ:

x2 + ax = 2a2

⇒ x2 + ax – 2a2 = 0

⇒ x2 + 2ax – ax – 2a2 = 0

⇒ x (x + 2a) – a (x + 2a) = 0

⇒ (x + 2a) (x – a) = 0

⇒ x + 2a = 0 କିମ୍ବ। x – a = 0

⇒ x = -2a କିମ୍ବ। x = a

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ a ଓ -2a

(viii) x2 + 2ax + a2 – b2 = 0

ସମାଧାନ:

x2 + 2ax + a2 – b2 = 0

⇒ x2 + 2ax + a2 = b2

⇒ (x + a)2 = b2

⇒ x + a = ± √b2

⇒ x + a = ± b

∴ x + a = b କିମ୍ବ। x + a = -b

⇒ x = b – a କିମ୍ବ। x = -(a + b)

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (b – a) ଓ -(a + b)

Question 4.

ସମାଧାନ କର :

(i) 3x+2−1x=415

ସମାଧାନ:

⇒ 3x−(x+2)x(x+2)=415

⇒ 3x−x−2x2+2x=415

⇒ 4 (x2 + 2x) = 15 (2x – 2)

⇒ 4x2 + 8x = 30x – 30

⇒ 4x2 + 8x – 30x + 30 = 0

⇒ 4x2 – 22x + 30 = 0

⇒ 4x2 – 12x – 10x + 30 = 0

⇒ 4x (x – 3) – 10 (x – 3) = 0

⇒ (x – 3) (4x – 10) = 0

⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବ। 4x – 10 = 0

⇒ x = 3 କିମ୍ବ। x = 104=52

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 3 ଓ 52

(ii) 53x−2+3x+2 = 1

ସମାଧାନ:

⇒ 5(x+2)+3(3x−2)(3x−2)(x+2) = 1

⇒ 5x + 10 + 9x – 6 = (3x – 2) (x + 2)

⇒ 14x + 4 = 3x2 + 6x – 2x – 4

⇒ 3x2 + 4x – 4 = 14x + 4

⇒ 3x2 + 4x – 14x – 4 – 4 = 0

⇒ 3x2 – 10x – 8 = 0

⇒ 3x2 – 12x + 2x – 8 = 0

⇒ 3x (x – 4) + 2 (x – 4) = 0

⇒ (x – 4) (3x + 2) = 0

⇒ x – 4 = 0 ବା 3x + 2 = 0

⇒ x = 4 ବା x = −23

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 4 ଓ −23

(iii) x+1x+3−1−x3+2x = 2

ସମାଧାନ:

⇒ (x+1)(2x+3)−(x+3)(1−x)(x+3)(2x+3) = 2

⇒ (2x2+3x+2x+3)−(x−x2+3−3x)2x2+6x+3x+9

⇒ (2x2 + 5x + 3) – (- x2 – 2x + 3) = 2 (2x2 + 9x + 9)

⇒ 2x2 + 5x + 3 + x2 + 2x- 3 = 4x2 + 18x + 18

⇒ 3x2 + 7x – 4x2 – 18x – 18 = 0

⇒ -x2 – 11x – 18 = 0

⇒ x2 + 11x + 18 = 0

⇒ x2 + 9x + 2x + 18 = 0

⇒ x (x + 9) + 2 (x + 9) = 0

⇒ (x + 9) (x + 2) = 0

⇒ x + 9 = 0 ବା x + 2 = 0

⇒ x = -9 ବା x = -2

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ -9 ଓ -2

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

(iv) xx+1+x+1x=52

ସମାଧାନ:

⇒ x2+(x+1)2x(x+1)=52

⇒ x2+x2+2x+1x2+x=52⇒2x2+2x+1x2+x=52

⇒ 5(x2 + x) = 2 (2x2 + 2x + 1)

⇒ 5x2 + 5x = 4x2 + 4x + 2

⇒ 5x2 – 4x2 + 5x – 4x – 2 = 0

⇒ x2 + x – 2 = 0

⇒ x2 + 2x – x – 2 = 0

⇒ x (x + 2) – 1 (x + 2) = 0

⇒ (x – 1) (x + 2) = 0

⇒ x – 1 = 0 ବା x + 2 = 0

⇒ x = 1 ବା x = -2

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 1 ଓ -2

Question 5.

(i) x2 – 7x + a = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3 ହେଲେ, aର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

x2 – 7x + a = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3।

⇒ (3)2 – 7(3) + a = 0 ⇒ 9 – 21 + a = 0

⇒ a – 12 = 0⇒ a = 12

a = 12 ହେଲେ ସମୀକରଣଟି x2 – 7x + 12 = 0

⇒ x2 – 4x – 3x + 12 = 0

⇒ x (x – 4) – 3(x – 4) = 0 ⇒ (x – 3) (x – 4) = 0

⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବା x – 4 = 0 ⇒ x = 3 କିମ୍ବା x = 4

∴ ସମୀକରଣଟିର ଅନ୍ୟ ବୀଜ 4 । ∵ ପୂର୍ବରୁ ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3 ଦତ୍ତ ଅଛି ।

∴ a ର ମାନ 12 ଏବଂ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି 4 ।

(ii) x2 + ax – 15 = 0) ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ହେଲେ, ଥର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

x2 + ax – 15 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ।

⇒ (5)2 + a(5) – 15 = 0 ⇒ 25 + 5a – 15 = 0

⇒ 10 + 5a = 0 ⇒ 10 = -5a ⇒ a = 10−5 = -2

aର ମାନ – 2 ହେଲେ ସମୀକରଣଟି x2 – 2x – 15 = 0 ⇒ x2 – 5x + 3x – 15 = 0

⇒ x (x – 5) + 3 (x – 5) = 0 ⇒ (x – 5) (x + 3) = 0

⇒ x – 5 = 0 ବା x + 3 = 0 ⇒ x = 5 ବା x = -3

∴ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି -3 ∵ ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ଦତ୍ତ ଅଛି ।

∴ aର ମାନ – 2 ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି – 3 ।