BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Question 1.

ଭାଗକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ ନକରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ p(x) କୁ x – a ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(a) ହେବ ।

(i) ଭାଜ୍ୟ x3 + x2 + x + 1 ଏବଂ ଭାଜକ x – 1

ସମାଧାନ:

p(x) = x3 + x2 + x + 1

p(x) କୁ (x – 1) ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(1) ହେବ ।

p(1) = 13 + 12 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = 4

(ii) ଭାଜ୍ୟ x3 – x2 + x – 1 ଏବଂ ଭାଜକ x + 1

ସମାଧାନ:

p(x) = x3 – x2 + x – 1

p(x) କୁ (x + 1) ବା {x – (-1)} ଦ୍ଵାରା ଭାଗଲେ ଭାଗଶେଷ p(-1) ହେବ ।

p(-1) = (- 1)3 – (- 1)2 + (-1) – 1 = -1 – 1 – 1 – 1 = -4

∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = – 4

(iii) ଭାଜ୍ୟ 2x3 – 3x + 4 ଏବଂ ଭାଜକ 2x + 1

ସମାଧାନ:

p(x) = 2x3 – 3x + 4

p(x) କୁ 2x – 1 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p (12) ହେବ ।

p(12) = 2(12)3 – 3(12) + 4 = 2 × 18 – 32 + 4

= 14 – 32 + 4

= 1−6+164 = 114

∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = 114

(iv) ଭାଜ୍ୟ t4 – t3 + t2 – t + 1 ଏବଂ ଭାଜକ t + 2

ସମାଧାନ:

p(x) = t4 – t3 + t2 – t + 1 ଏବଂ ଭାଜକ t + 2

∴ p(x) କୁ t ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(-2) ହେବ ।

p(-2) = (-2)4 – (-2)3 + (-2)2 – (-2) + 1 = 16 – (-8) + 4 + 2 + 1

= 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = 31

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Question 2.

(a) p(x) = 8x3 – 2x2 + 5x – 6 ହେଲେ

(i) p(0)

ସମାଧାନ:

p(0) = 8(0)3 – 2(0) + 5(0) – 6 = 0 – 0 + 0 – 6 = -6

∴ p(0) = -6

(ii) p(1)

ସମାଧାନ:

p(1) = 8(1)3 – 2(1)2 + 5(1) – 6 = 8 – 2 + 5 – 6 = 5

∴ p(1) = 5

(iii) p(-1)

ସମାଧାନ:

p(-1) = 8(-1)3 – 2(-1)2 + 5(-1) – 6 = -8 – 2 – 5 – 6 = -21

∴ p(-1) = -21

(iv) p(2)

ସମାଧାନ:

p(2) = 8(2)3 – 2(2)2 + 5(2) – 6 = 64 – 8 + 10 – 6 = 60

∴ p(2) = 60

(v) p(12)

ସମାଧାନ:

p(12) = 8(12)3 – 2(12)2 + 5(12) – 6 = 8 × 18 – 2 × 14 + 52 – 6

= 1 – 12 + 52 – 6

= 2−1+5−122 = −62 = -3

∴ p(12) = -3

(b) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ମାନଙ୍କର ‘ଜିରୋ’ ନିରୂପଣ କର ।

(i) p(x) = 3x2 + 4x + 1

ସମାଧାନ:

p(x) = 3x2 + 4x + 1

ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି 3x2 + 4x + 1 = 0

∴ 3x2 + 4x + 1 = 0 ⇒ 3x2 + 3x + x + 1 = 0

⇒ 3x (x + 1) + 1 (x + 1) = 0 ⇒ (x + 1) (3x + 1) = 0

⇒ x + 1 = 0 ବା 3x + 1 = 0 ⇒ x = -1 ବା x = –13

∴ -1, –13 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

(ii) p(x) = cx – d (c ≠ 0)

ସମାଧାନ:

p(x) = cx – d (c ≠ 0)

ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି cx – d = 0

⇒ cx = d ⇒ x = dc

∴ dc ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

(iii) p(z) = 4z2 – 1

ସମାଧାନ:

p(z) = 4z2 – 1

ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି 4z2 – 1 = 0

⇒ 4z2 = 1 ⇒ z2 = 14 ⇒ z = ± 14−−√ = ± 12

∴ 12, –12 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

(iv) p(y) = (y – 1) (y + 2)

ସମାଧାନ:

p(y) = (y – 1) (y + 2)

ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି (y – 1) (y + 2) = 0

⇒ y – 1 = 0 ବା y + 2 = 0 ⇒ y = 1 ବା y = -2

∴ 1 ଓ -2 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

Question 3.

ନିମ୍ନ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p (x) ମାନଙ୍କର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯଦି,

(i) p(-3) = 0 ହୁଏ ।

ସମାଧାନ:

p (-3) = 0 ହେଲେ p(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ {x – (-3)} = x + 3 ହେବ ।

(ii) p(2) = 0 ହୁଏ ।

ସମାଧାନ:

p(2) = 0 ହେଲେ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 2) ହେବ ।

(iii) p(12) = 0 ହୁଏ ।

ସମାଧାନ:

p(12) = 0 ହେଲେ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (2x – 1) ହେବ ।

(iv) p(32) = 0 ହୁଏ ।

ସମାଧାନ:

p(32) = 0 ହେଲେ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (3x – 3) ହେବ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Question 4.

ନିମ୍ନଲିଖୁତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ?

(i) x3 + x2 + x + 1

ସମାଧାନ:

p(x) = x3 + x2 + x + 1

ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।

p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1

= -1 + 1 – 1 + 1 =0

∴ x3 + x2 + x + 1 ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ x + 1 ଅଟେ ।

(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1

ସମାଧାନ:

p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।

∴ p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1

∴ (x + 1), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1

ସମାଧାନ:

p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1

ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।

∴ p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3 (-1)2 + (-1) + 1

= 1 + 3 × (-1) + 3(1) + (-1) + 1 = 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1

∴ (x + 1), p(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iv) x3 – x2 – (2 + √2)x – √2

ସମାଧାନ:

p(x) = x3 – x2 – (2 + √2)x – √2

ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।

p(-1) = (- 1)3 – (- 1)2 – (2 + √2)(-1) – √2

= -1 – 1 + 2 + √2 – √2 = 2 – 2 + √2 – √2 =0

∴ p(x)ର, (x + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

Question 5.

କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x)ର ପଲିନୋମିଆଲ୍ g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ?

(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1

ସମାଧାନ:

p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1

ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।

p(-1) = 2 (-1)3 + (-1)2 – 2 (-1) – 1 = 2 (-1) + 1 + 2 – 1

= -2 + 3 – 1 = 0

∴ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହେବ ।

(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2

ସମାଧାନ:

p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2

ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହୁଏ, ତେବେ p(-2) = 0 ହେବ ।

∴ p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3 (-2) + 1 = -8 + 12 – 6 + 1 = -1

∴ g(x), p(x)ର ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3

ସମାଧାନ:

p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3

ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହୁଏ, ତେବେ p(3) = 0 ହେବ ।

∴ p(3) = 33 – 4 (3)2 + 3 + 6 = 27 – 36 + 9 = 0

∴ g(x), p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।

Question 6.

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର p(x)ର x – 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେଲେ kର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) p(x) = x2 + x + k

ସମାଧାନ:

p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0

p(x) = x2 + x + k

⇒ p(1) = (1)2 + 1 + k = 0

⇒ k + 2 = 0 ⇒ k = -2

∴ kର ମାନ -2 ।

(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2

ସମାଧାନ:

p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0

p(x) = 2x2 + kx + √2

⇒ p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2 = 0

⇒ 2 + k + √2 = 0

⇒ k = -(2 + √2)

∴ kର ମାନ -(2 + √2) ।

(iii) p(x) = kx2 – √2x +1

ସମାଧାନ:

p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0

p(x) = kx2 – √2x +1

p(1) = k(1)2 – √2(1) + 1 = 0

⇒ k = -√2 + 1 ⇒ k = √2 – 1

∴ kର ମାନ √2 – 1 ।

(iv) p(x) = kx2 + 3x + k

ସମାଧାନ:

p(x)ର (x – 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0

p(x) = kx2 + 3x + k p(1) = 0

⇒ k(1)2 + 3(1) + k

⇒ k + 3 + k = 0

⇒ 2k + 3 = 0 ⇒ k = −32

∴ kର ମାନ −32 

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Question 7.

ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ଭାଗଶେଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) (x4 – 1) ÷ (x + 1)

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = x4 – 1, ଭାଜକ = x + 1, ଭାଗଶେଷ = p(-1) ହେବ ।

p(x) = x4 – 1 ⇒ p(1) = (1)4 – 1 = 0

∴ ଭାଗଶେଷ = 0

(ii) (x3 – 3x + 7) ÷ (x – 2)

ସମାଧାନ:

(x3 – 3x + 7) ÷ (x – 2)

ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = x3 – 3x + 7, ଭାଜକ = x – 2, ଭାଗଶେଷ = p(2) ହେବ ।

p(x) = x3 – 3x + 7

⇒ p(2) = (2)3 – 3(2) + 7 = 8 – 6 + 7 = 9

∴ ଭାଗଶେଷ = 9

(iii) (x2 – 3x + 2) ÷ (x + 3)

ସମାଧାନ:

(x2 – 3x + 2) ÷ (x + 3)

ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = x2 – 3x + 2, ଭାଜକ = x + 3, ଭାଗଶେଷ = p(-3) ହେବ ।

p(x) = x2 – 3x + 2

⇒ p(-3) = (-3)2 – 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20

∴ ଭାଗଶେଷ = 20

(iv) (2x2 – x – 1) ÷ (2x – 1)

ସମାଧାନ:

(2x2 – x – 1) ÷ (2x – 1)

ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = 2x2 – x – 1, ଭାଜକ = 2x – 1, ଭାଗଶେଷ = p(12) ହେବ ।

p(x) = 2x2 – x – 1

⇒ p(12) = 2(12)2 – (12) – 1 = 2 × 14 – 12 – 1 = 12 – 12 – 1 = -1

∴ ଭାଗଶେଷ = -1

Question 8.

ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ନିମ୍ନସ୍ଥ ପଲିନୋମିଆଲଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।

p(a) = 0 ହେଲେ (x – a), p(x)ର ଉତ୍ପାଦକ ହେବ

(i) x2 – 7x + 12

ସମାଧାନ:

x2 – 7x + 12 ର ଘାତ 2 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 2 ।

ମନେକର p(x) = x2 – 7x + 12

p(3) = (3)2 – 7 (3) + 12 = 9 – 21 + 12 = 21 – 21 = 0

(x – 3) p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।    ….(i)

p(4) = (4)2 – 7 (4) + 12 = 16 – 28 + 12 = 28 – 28 = 0

∴ (x – 4), p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।  ….(ii)

∴ (i) ଓ (ii) ରୁ x2 – 7x + 12 = (x – 3) (x – 4)

(ii) x2 – 3x – 4

ସମାଧାନ:

x2 – 3x – 4 ର ଘାତ 2 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 2 ।

ମନେକର p(x) = x2 – 3x – 4

p(-1) = (-1)2 – 3 (-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 4 – 4 = 0

∴ (x + 1), p(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।    ….(i)

p(4) = (4)2 – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0

∴ (x – 4) P(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।  ….(ii)

∴ (i) ଓ (ii) ରୁ x2 – 3x – 4 = (x + 1) (x – 4)

(iii) x3 – 2x2 – x + 2

ସମାଧାନ:

x3 – 2x2 – x + 2 ର ଘାତ 2 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 2 ।

ମନେକର p(x) = x3 – 2x2 – x + 2

p(-1) = (-1)3 – 2(-1)2 – (-1) + 2 = -1 – 2(1) + 1 + 2 = 0

∴ (x + 1), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।    ….(i)

p(1) = 13 – 2(1)2 – 1 + 2 = 1 – 2 – 1 + 2 = 0

∴ (x – 1) p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(ii)

p(2) = (2)3 – 2(2)2 – 2 + 2 = 8 – 8 – 2 + 2 = 0

∴ (x – 2) p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(iii)

∴ (i), (ii), (iii) ରୁ x3 – 2x2 – x + 2 = (x + 1) (x – 1) (x – 2)

(iv) y3 + y2 – 2y – 2

ସମାଧାନ:

y3 + y2 – 2y – 2 ର ଘାତ 3 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 3 ।

ମନେକର p(y) = y3 + y2 – 2y – 2

p(-1) = (-1)3 + (-1)2 – 2 (-1) – 2 = -1 + 1 + 2 – 2 = 0

∴ (y + 1), p(y) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।    ….(i)

p(√2) = (√2)3 + (√2)2 – 2 (√2) – 2 = 2√2 + 2 – 2√2 – 2 = 0

∴ (y – √2), p(y) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(ii)

p(-√2) = (-√2)3 + (-√2)2 – 2 (-√2) – 2 = -2√2 + 2 – 2√2 – 2 = 0

∴ (y + √2), p(y) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(iii)

∴ (i), (ii), (iii) ରୁ y3 + y2 – 2y – 2 = (y + 1) (y – √2) (y + √2)

= (y + 1) (y2 – 2)

Question 9.

ଯଦି x2 – 1, ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହୁଏ, ତେବେ a + e + e = b + d = 0

ସମାଧାନ:

x2 – 1 = (x)2 – (1)2 = (x + 1)(x – 1)

ମନେକର p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

p(x)ର (x2 – 1) ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହେଲେ p(x)ର (x + 1)

 ଏବଂ (x – 1) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଗୁଣନୀୟକ ହେବେ ।

∴ p(-1) = 0 ହେବ ଏବଂ p(+1) = 0 ହେବ ।

ଯଦି p(-1) = 0 ହୁଏ, ତେବେ a – b +  c – d + e = 0 ହେବ ।

ଅର୍ଥ।ତ୍ a + c + e = b + d   ….(i)

ପୁନଶ୍ଚ ଯଦି p(1) = 0 ହୁଏ, ତେବେ + b + c + d + e = 0 ହେବ

⇒ (a + c + e) + (b + d) = 0

କିନୁ a + c + e = (b + d) ହେତୁ 2(a + c + e) = 0

ଅଥବା, 2(b + d) = 0 ହେବା

∴ a + c + e ବା b + d = 0 ⇒ a + c + e = b + d = 0  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.

ଯଦି (x- 1), x2 + mx + 1 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ (x – m), x3 + 3x2 + 3x + 2 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର p(x) = x2 + mx + 1

(x – 1), p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହୋଇଥିବାରୁ p(1) = 0 ହେବ ।

∴ (l)2 + m(l) + 1 = 0 ⇒ m + 2 = 0 ⇒ m = -2

∴ x – m = x + 2

ଦର୍ଶାଇବାକୁ ହେବ ଯେ, x3 + 3x2 + 3x + 2 ର x – m ଅର୍ଥାତ୍ x + 2 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।

ମନେକର q(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2

q(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 2 = -8 + 12 – 6 + 2 = -14 + 14 = 0

x + 2, q(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Question 11.

ଦର୍ଶାଅ ଯେ x2 + 2x + 3 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ ।

ସମାଧାନ:

x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2

∴ (x + 1)2 ର ସର୍ବନିମ୍ନ ମାନ 0 ଅଟେ ।

xର ଯେକୌଣସି ମାନପାଇଁ (x + 1)2 + 2 ଜିରୋ ହେବ ନାହିଁ ଏବଂ x2 + 2x + 3 ର ସର୍ବନିମ୍ନ ମାନ + 2 ହେବ ।

ଏଥିରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ x2 + 2x + 3 ର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ ।

Question 12.

ଦର୍ଶାଅ ଯେ 1, -1 ଓ 3 ପଲିନୋମିଆଲ x3 – 3x2 – x + 3 ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର p(x) = x3 – 3x2 – x + 3

p(1) = 13 – 3(1)2 – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0

∴ 1, p(x) ର ଏକ ଜିରୋ ଅଟେ ।  ….(i)

p(-1) = (-1)3 – 3 (-1)2– (-1) + 3 = -1 – 3 + 1 + 3 = 0

∴ (- 1), p(x)ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଜିରୋ ଅଟେ ।  ….(ii)

p(3) = 33 – 3(3)2 – 3 + 3 = 27- 27 – 3 + 3 = 0

∴ 3, p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଜିରୋ ଅଟେ । ….(iii)

(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ 1, -1 ଓ 3, ପଲିନୋମିଆଲ୍ x3 – 3x2 – x + 3 ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି ।

Question 13.

‘b’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ x3 – 3x2 + bx – 6 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର (x – 3) ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର p(x) = x3 – 3x2 + bx – 6 

∵ p(x), (x – 3) ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ⇒ p(3) = 0

⇒ 33 – 3(3)2 + b(3) – 6 = 0 ⇒ 27 – 27 + 3b – 6 = 0

⇒ 3b – 6 = 0 ⇒ 3b = 6 ⇒ b = 63 = 2

∴ bର ମୂଲ୍ୟ 2 ହେଲେ x3 – 3x2 + bx – 6 , x – 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

Question 14.

ଯଦି x2 – bx + c = (x + p) (x – q) ହୁଏ, ତେବେ x2 – bxy + cy2 ର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

x2 – bx + c = (x + p) (x – q) = x2 + (p – q) x – pq

ଏଠାରେ (p – q) = -b ଏବଂ c = -pq

∴ x2 – bxy + cy2 = x2 + (p – q) xy – (pq) y2

= x2 + pxy – qxy – pqy2 = x (x + py) – qy (x + py)

= (x + py) (x – qy)