BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 1.

ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ ।

(i) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ?

(a) √4 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

(b) √2 ଓ √3 ମଧ୍ୟରେ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ

(c) √8 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

(d) π ∈ Q

ସମାଧାନ:

√8 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

√8 = 2√2 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଉତ୍ତରଟି ଠିକ୍ ।

(ii) ନିମ୍ନଲିଖ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ନୁହେଁ ?

(a) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ହେଲେ p + q ଅପରିମେୟ

(b) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ଅପରିମେୟ ହେଲେ p + q ଅପରିମେୟ

(c) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ହେଲେ p + q ପରିମେୟ

(d) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ହେଲେ p – q ପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ହେଲେ p + q ଅପରିମେୟ

ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ଯୋଗ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ ।

(iii) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ?

(a) p ଓ q ପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ

(b) p ଓ q ଅପରିମେୟ ହେଲେ pq ଅପରିମେୟ

(c) p ପରିମେୟ ଓ ରୁ ଅପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ

(d) p ଓ q ଅପରିମେୟ ହେଲେ p/q ଅପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

p ଓ q ପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ।

(iv) ରାଡ଼ିକାଲ (କରଣୀ) ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କଲେ 2? ରାଶିଟି କାହା ସହ ସମାନ ?

(a) √2

(b) 2–√3

(c) √8

(d) ଏଥରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ

ସମାଧାନ:

√2

212 = √2

(v) ଡ଼ିକାଲ ଚିହ୍ନ ଅପସାରଣ କଲେ -3 ରାଶିର ସରଳୀକୃତ ମାନ କେଉଁଟି ?

(a) x352

(b) 12x−15

(c) x152

(d) ଏଥରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ

ସମାଧାନ:

x352

12x−3√5=12x−33=x352

(vi) 9−112 ରାଶିଟି କେଉଁ ରାଶି ସହ ସମାନ ?

(a) 13

(b) 313

(c) 19

(d) 127

ସମାଧାନ:

127

9−12=(32)−32=3−3=133=127

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

(vii) (2–√2√2√) ର ମୁଲ୍ୟ ଲାହା ସହ ସମାନ ?

(a) √2

(b) 12

(c) 12√

(d) 2

ସମାଧାନ:

2

2–√2√2√=2–√(212)12=2–√212+12=(2–√)2 = 2

(viii) କେଉଁବି ଠିଳ୍?

(a) 4–√4>3–√3

(b) 4–√3>3–√4

(c) 4–√3=3–√4

(d) 4–√4=3–√3

ସମାଧାନ:

4–√3>3–√4

(4–√3)12=4123=44=256,(3–√4)12=3124=33 = 27

(ix) Q ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତୁ ସମସ୍ତ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ Q – Q’ = ?

(a) N

(b) Z

(c) R

(d) ଏଥୁରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ

ସମାଧାନ:

R

Q ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, Q’ ସମସ୍ତ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ Q ∪ Q’ = R

(x) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ x ର ମୂଲ୍ୟ କେଉଁଟି ହେଲେ (√5 + √2) x ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?

(a) √5 + √2

(b) √5 – √2

(c) √5

(d) √2

ସମାଧାନ:

√5 – √2

(√5 + √2) x ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ x = √5 – √2

ଲାରଣ : (√5 + √2) (√5 – √2) = √5 – √2 = 3

(xi) x + (1 – √2 ) ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଥ୍ଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ମୂଲ୍ୟରୁ xର ମୂଲ୍ୟଟି ବାଛ ।

(a) 1 – √2

(b) √2 – 1

(c) -1 – √2

(d) 2√2

ସମାଧାନ:

√2 – 1

x + (1 – √2) ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, x = √2 – 1

ଲାରଣ : √2 – 1 + 1 – √2 = 0 ∈ Q

(xii) 2√3√ ସଂଖ୍ୟାଟି ନିମ୍ନଲିଖ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସହ ସମାନ ନୁହେଁ ?

(a) 46√

(b) 6√3

(c) 26√

(d) 12√18√

ସମାଧାନ:

46√

2√3√≠46√, (ଲାରଣ : 2√3√×2√2√=26√)

(xiii) 3√2 ଓ 7√8 ର ଯୋଗଫଳ କେତେ ?

(a) 12√2

(b) 10√2

(c) 10√8

(d) ଏଥୁରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ

ସମାଧାନ:

ଏଥୁରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ

3√2 + 7√8 = 3√2 + 14√2 = 17√2

Question 2.

ନିମ୍ନୋକ୍ତ ଉକ୍ତି ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

(i) 0 ∈ R

ସମାଧାନ:

T

(ii) √16 ∈ Q

ସମାଧାନ:

T

(iii) √5 ∈ R

ସମାଧାନ:

T

(iv) -0 = 0

ସମାଧାନ:

T

(v) -π ∈ Q

ସମାଧାନ:

F

(vi) 2π ∈ Q’

ସମାଧାନ:

T

(vii) 2 + √2 ∈ Q

ସମାଧାନ:

F

(viii) Q ⊂ R

ସମାଧାନ:

T

(ix) π ∈ Q’

ସମାଧାନ:

T

(x) Q ∪ Q’ = R

ସମାଧାନ:

T

(xi) Q ⊂ Q’

ସମାଧାନ:

F

(xii) R – Q = Q’

ସମାଧାନ:

T

(xiii) √2 ଓ √3 ମଧ୍ୟରେ ଅସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ବିଦ୍ୟାମନ ।

ସମାଧାନ:

F

(xiv) 0.01001000100001.. ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ସମାଧାନ:

 (F) କାରଣ : ଏହି ଅସରନ୍ତି ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୌନଃପୁନିକ ନୁହେଁ ।

(xv) x ∈ R ହେଲେ x⋅1x = 1

ସମାଧାନ:

(F) (xv) (F) କାରଣ : x = 0 ହେଲେ ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

(xvi) ଦୁଇଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ।

ସମାଧାନ:

(T) ଦୁଇଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ, ତେଣୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

(xvii) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ।

ସମାଧାନ:

 (F) (ଏହା ସାର୍ବଜନୀନ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।)

(xviii) ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ।

ସମାଧାନ:

(F) (ଏହା ମଧ୍ୟ ସାର୍ବଜନନୀ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।)

(xix) ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅପରିମେୟ ।

ସମାଧାନ:

(F) (ଏହା ସାର୍ବଜନୀନ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।)

(xx) π ସହ ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କଲେ ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ।

ସମାଧାନ:

F

Question 3.

ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପରିମେୟ ଓ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଅପରିମେୟ ଲେଖ ।

(i) 3

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ରାଣି

(ii) 12

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ରାଣି

(iii) -10

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ରାଣି

(iv) √81

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ରାଣି

(v) 227

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ରାଣି

(vi) π

ସମାଧାନ:

ଅପରିମେୟ ରାଣି

(vii) 3√2

ସମାଧାନ:

ଅପରିମେୟ ରାଣି

(viii) 12√

ସମାଧାନ:

ଅପରିମେୟ ରାଣି

(ix) 0 7

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ରାଣି

(x) 0.7¯¯¯

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ରାଣି

(xi) √0.7

ସମାଧାନ:

ଅପରିମେୟ ରାଣି

(xii) 0.07007000700007….

ସମାଧାନ:

ଅପରିମେୟ ରାଣି

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 4.

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର :

(i) 2ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _______ ।

ସମାଧାନ:

12

(ii) √2 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _____ ।

ସମାଧାନ:

12√

(iii) √2 ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _____ ।

ସମାଧାନ:

-√2

(iv) πର 227 ଏଳ ମାନ ଅଟେ ।

ସମାଧାନ:

ଆସନୄ

(v) 4 – √3 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _____ ।

ସମାଧାନ:

√3 – 4

(vi) _____ ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଓ ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ ଅଟେ ।

ସମାଧାନ:

1 ଳିମୂ‍। -1

(vii) _____ px = py ହେଲ x = y ହେବ କେବଳ ଯଦି

ସମାଧାନ:

p ≠ 0

(viii) Q ∪ Q’ = _____ ।

ସମାଧାନ:

R

(ix) -π ର ପରମ ମାନ _____ ।

ସମାଧାନ:

π

(x) x = 0 ହେଲେ | x | ର ମାନ _____ ।

ସମାଧାନ:

0

Question 5.

‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥ‌ିବା ପଦ ସହ (ଅର୍ଥ ଭିଭିକ) ମଳାଇ ରଖ ।

‘କ’ ‘ଖ’

(i) 0 (i) ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ

(ii)  1 (ii)  ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା

(iii) √2 (iii) ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

(iv) 5 (iv) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

(v) 6 (v) ଆସନ୍ନମାନ 227

(vi)  0.7¯¯¯ (vi)  ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ

(vii) x ଓ -x (vii) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ

(viii) 2 ଓ 12 (viii) ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା pq

(ix) π (ix)  ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ

ସମାଧାନ:

‘କ’ ‘ଖ’

(i) 0 (vii) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ

(ii)  1 (ix)  ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ

(iii) √2 (iii) ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

(iv) 5 (ii)  ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା

(v) 6 (iv) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

(vi)  0.7¯¯¯ (viii) ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା pq

(vii) x ଓ -x (vi)  ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ

(viii) 2 ଓ 12 (i) ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ

(ix) π (v) ଆସନ୍ନମାନ 227

Question 6.

ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଉଦାହରଣ ଦିଅ ।

(i) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x + y ପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x + y ପରିମେୟ

ମନେକର x = 2 + √3 ଏବଂ y = 2 – √3

⇒ x + y = 2+ √3 + 2 – √3

x + y = 4 (ପରିମେୟ)

(ii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ x + y ଅପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x + y ଅପରିମେୟ

ମନେକର x = √3 + 1 ଓ y = √3 + 1

x + y = √3 + 1 + √3 – 1 = 2√3 ଅପରିମେୟ

(iii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x – Y ପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x – Y ପରିମେୟ

ମନେକର x = √3 + 4 ଏବଂ y = √3 – 4

∴ x – y = (√3 + 4) − (√3 – 4)

= √3 + 4 – √3 + 4 = 8 (ପରିମେୟ)

(iv) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ପରିମେୟ

ମନେକର x = √3 + 1, y = √3 – 1

⇒ xy = (√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)2 – (1)2 = 3 – 1 = 2 (ପରିମେୟ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

(v) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ xy ଅପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ଅପରିମେୟ

ମନେକର x = √2, y = √3

⇒ xy = √2 × √3 = √6 (ଅପରିମେୟ)

(vi)  x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ପରିମେୟ

ମନେକର x = 2√3, y = 3√3

⇒ xy=23√33√=23 (ପରିମେୟ)

(vii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ xy ଅପରିମେୟ

ସମାଧାନ:

x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ xy ଅପରିମେୟ

ମନେକର x = √6 ଓ y = √3

⇒ x = 6√3√ = √2 (ଅପରିମେୟ)

Question 7.

ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) କେଉଁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ତା’ ନିଜର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଅଟେ ?

ସମାଧାନ:

0 = -0 ଏବଂ 0 ∈ R । ତେଣୁ ଉତ୍ତର 0 ଅଟେ ।

(ii) କେଉଁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ତା’ ନିଜର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଅଟେ ?

ସମାଧାନ:

1 = 11 ଏବଂ – 1 = 1−1 ତେଣୁ ଉତ୍ତର I ଏବଂ – 1 ଏଠାରେ {1, – 1} e R । ତେଣୁ ଉତ୍ତର 1 କିମ୍ବା (-1) ।

(iii) a x 0 = b x 0 ହେଲେ ସର୍ବଦା a = b ହେବ କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

ସମାଧାନ:

a × 0 = b × 0 ଏହା ସର୍ବଦା a = b ହେବ ନାହିଁ । (କାରଣ 15 × 0 = 28 × 0 ∴ 15 ≠ 28)

(iv) ଦୁଇଗୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ ପରିମେୟ ମାତ୍ର ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ହେବ ।

ସମାଧାନ:

ମନେଳର x = (√3 + 1), y = (√3 – 1)

ସଂଖ୍ୟ‍।ଦୁୟର ଗୁଣଫଳ xy = (√3 + 1) (√3 − 1) = (√3)2 − 12 = 3 − 1 = 2 (ପରିମେୟ )

ସଂଖ୍ୟ‍।ଦୁୟର ଯୋଗଫଳ x + y = √3 + 1 + √3 − 1 = √3 + √3 = 2√3 (ଅପରିମେୟ)

(v) ଦୁଇଗୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ମାତ୍ର ଗୁଣନଫଳ ଅପରିମେୟ ହେବ ।

ସମାଧାନ:

ମନେଳର x = 2 – √3, y = √3

x + y = 2 – √3 + √3 = 2 (ପରିମେୟ )

xy = ( 2 – √3) √3 = 2√3 – 3 (ଅପରିମେୟ)‍।

(vi) ଏକ ପରିମେୟ ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟ ଦଶମିକ ଓ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ କ’ଣ ଥାଏ ?

ସମାଧାନ:

ପରିମେୟ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ ସସୀମ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା । ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ ଅସୀମ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ମାତ୍ର ଅଣପୌନଃପୁନିକ ଅଟେ ।

Question 8.

ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ ସ୍ଥିର କର ‍।

(i) √18 ଓ √72

ସମାଧାନ:

√18 + √72 = 9×2−−−−√+36×2−−−−−√ = 3√ + 6√2 = (3+6) √2=9√2

(ii) 3√2 ଓ 7√2

ସମାଧାନ:

3√2 + 7√2 = (3 + 7) √2 = 10√2

(iii) √5 ଓ -√5

ସମାଧାନ:

√5 + (-√5) = √5 – √5 = 0

(iv) √75, √108 ଓ √147

ସମାଧାନ:

√75 + √108 + √147 = 25×3−−−−−√+36×3−−−−−√+49×3−−−−−√

= 5√3 + 6√3 + 7√3 = (5 + 6 + 7) √3 = 18√3

Question 9.

ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

(i) √5 ଓ √2

ସମାଧାନ:

√5 × √2 = 5×2−−−−√ = √10

(ii) √20 ଓ √5

ସମାଧାନ:

√20 × √5 = 20×5−−−−−√ = √100 = 10

(iii) (3 + √2) ଓ (3 – √2)

ସମାଧାନ:

(3 + √2)(3 – √2) = 32 − (√2)2 = 9 – 2 = 7

(iv) √12, √45 ଓ √15

ସମାଧାନ:

√12 × √45 × √15 = 12×45×15−−−−−−−−−−√=2×2×3×3×3×5×3×5−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

= 2 × 3 × 3 × 5 = 90

Question 10.

ନିମ୍ନଲିଖତ ରାଶିମାନଙ୍କୁ x ସହ ଗୁଣନ କଲେ ଯଦି ଗୁଣଫଳ 1 (ଏକ) ତେବେ x ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯେପରିକି xର ହର ଏକ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

(i) √3

ସମାଧାନ:

√3 × x = 1 ⇒ x = 13√=3√3√×3√=3√3

(ii) 3√2

ସମାଧାନ:

3√2 × x = 1 ⇒ x = 132√=2√32√×2√=2√6

(iii) 2 + √3

ସମାଧାନ:

(2 + √3) × x = 1 ⇒ x = 12+3√

⇒ x = 2−3√(2+3√)(2−3√)=2−3√(2)2−(3√)2=2−3√4−3 = 2 – √3

∴ xର ଗୁଲ୍ୟ = 2 – √3

(iv) √5 – 1

ସମାଧାନ:

(√5 – 1) × x = 1 ⇒ x = 15√−1

⇒ x = 5√+1(5√−1)(5√+1)=5√+1(5√)2−(1)2=5√+15−1=5√+14

(v) √3 + √2

ସମାଧାନ:

(√3 + √2) × x = 1 ⇒ x = 13√+2√

⇒ x = 3√−2√(3√+2√)(3√−2√)=3√−2√(3√)2−(2√)2=3√−2√3−2 = √3 – √2

∴ xର ଗୁଲ୍ୟ = √3 – √2

ବି.ଦ୍ର. : – : ପ୍ରତ୍ୟେକର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀକୁ ପରିମେୟ ହର ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିରେ ପରିଣତ କରାଯାଇଛି ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 11.

0.303003000300003….. ଦଶମିକ ରାଶିଟି ପରିମେୟ କି ଅପରିମେୟ କାରଣ ସହ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

0.303003000300003….. ରାଶିଟି ଅପରିମେୟ ଅଟେ ।

କାରଣ – ଉକ୍ତ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଅସୀମ ଓ ଅଣପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

Question 12.

P ଓ Q ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ PQ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

P ଓ Qଚ ଘାନାଢ ଯଥାକୁମେ a ଓ b ହେଲେ PQ = |a – b|

(i) 8 ଓ 15

ସମାଧାନ:

PQ = |8 – 15| = |-7| = 7

(ii) -4 ଓ 3.2

ସମାଧାନ:

PQ = |- 4 – 3.2| = |-7.2| = 7.2

(iii) -3.7 ଓ -6.1

ସମାଧାନ:

PQ =|-3.7 – (-6.1)| = |-3.7 + 6.1| = |2.4| = 2.4

(iv) π ଓ -3π

ସମାଧାନ:

PQ = |π – (-3π)| = |π + 3π| = |4π| = 4π

Question 13.

ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିମାନଙ୍କୁ ପରିମେୟ ହର ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(i) 23(3√+2)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

(ii) 21+2√

ସମାଧାନ:

21+2√=2(2√−1)(2√+1)(2√−1)=2(2√−1)(2√)2−(1)2=2(2√−1)2−1 = 2(√2 – 1)

(iii) 22√+3

ସମାଧାନ:

22√+3=23+2√=2(3−2√)(3+2√)(3−2√)=2(3−2√)(3)2−(2√)2=2(3−2√)9−2=2(3−2√)7

(iv) 11+2√

ସମାଧାନ:

11+2√=12√+1=1(2√−1)(2√+1)(2√−1)=(2√−1)(2√)2−(1)2=(2√−1)2−1 = √2 – 1

(v) 53−2√

ସମାଧାନ:

53−2√=5(3+2√)(3−2√)(3+2√)=5(3+2√)(3)2−(2√)2=5(3+2√)9−2=5(3+2√)7

(vi) 1+2√3√+2√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 1

(vii) 2√−15√−2√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 2

(viii) 11+2√+3√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 3

(ix) 2√+3√2√+3√+5√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 4

Question 14.

ସରଳ ଜର :

(i) 5√+3√5√−3√+5√−3√5√+3√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 5

(ii) 7√−5√7√+5√+7√+5√7√−5√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 6

Question 15.

a ଓ b ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସେମାନଙ୍କ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) 3√−13√+1 = a + b√3

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 7

(ii) 4+5√4−5√ = a + b√5

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 8

(iii) 3√+2√3√−8√ = a + b√6

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 9

Question 16.

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଅଙ୍କନ କରି କମ୍ପାସ୍ ଓ ସ୍କେଲ୍‌ର ବ୍ୟବହାରଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଚିହ୍ନଟ କର ।

(i) 35

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ 35 < 1 ଏବଂ 35 > 0, ଅର୍ଥାତ୍ 0 < 35 < 1।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 10

OP = PQ ହେବ ।

∴ 35 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି ଠ ର ଡାହାଣକୁ ଏବଂ P ବିନ୍ଦୁର ବାମକୁ ରହିବ । ଅର୍ଥାତ୍ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ, OP ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ

0 ଏବଂ 1 ର ମଧ୍ୟବର୍ତୀ ଅଂଶକୁ ସମାନ ପାଞ୍ଚଭାଗ କରି S ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର, ଯାହା 35 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

(ii) 1 13

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 11

ଏଠାରେ 1 13 < 2 ଅର୍ଥାତ୍ 0 < 43 < 2

∴ 43 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି O ର ଡାହାଣକୁ PQ¯¯¯¯¯¯¯ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ ରହିବ । PQ ର ମଧ୍ୟବର୍ତୀ ଅଂଶକୁ ସମାନ ତିନିଭାଗ କରି S ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଯାହା 43 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(iii) √2 – 1

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯେ 1 < 2 < 4

⇒ 1 < √2 < 2 ⇒ 1 – 1 < √2 – 1 < 2 – 1 ⇒ 0 <, 2 – 1 < 1

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 12

∴ √2 – 1କୁ ସୂଚାଉଥୁବା ବିନ୍ଦୁଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 0 ଓ 1 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ଅର୍ଥାତ୍ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟିOQ¯¯¯¯¯¯¯¯ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

Δ AOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ PO = AO = 1 ଏକକ

∴ AP = PO2+OA2−−−−−−−−−−√ =√2 ଏକକ।

Pକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଓ AP ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । ଏଠାରେ M ବିନ୍ଦୁଟି √2 – 1 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ।

(iv) √2 + 1

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣିଛେ, 1 < 2 < 4

∴ 1 < √2 < 2 ⇒ 1 + 1 < √2 + 1 < 2 + 1 ⇒ 2 < √2 + 1 < 3

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 13

∴ √2 + 1 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 2 ଓ 3 ଦ୍ୱୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ । ଅର୍ଥାତ୍ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି QR¯¯¯¯¯¯¯¯ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

Δ APQ ସମକୋଣୀ A ରେ PQ = AQ = 1 ଏକକ

∴ AP = PQ2+AQ2−−−−−−−−−−√ = √2 ଏକକ

P କେନ୍ଦ୍ର ଓ AP ବ୍ୟାସାର୍ଷ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।

ଏଠାରେ M ବିନ୍ଦୁଟି √2 + 1 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(v) 2 + √3

ସମାଧାନ:

1 < 3 < 4 ⇒ 1 < √3 < 2

⇒ 2 + 1 < 2 + √3 < 2 + 2 ⇒ 3 < 2 + √3 < 4

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 14

∴ 2 + √3 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଟି  3 ଓ 4 ଦ୍ୱୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ । 

AQR ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ QR = AR = 1 ଏକକ

∴ AQ = QR2+AR2−−−−−−−−−−√ = √2 ଏକକ AQ = BR = √2 ଏକକ

BQR ସମକୋଣୀ A ରେ QR = 1 ଏକକ, RB = √2 ଏକକ

∴ BQ = QR2+BR2−−−−−−−−−√ = 12+(2–√)2−−−−−−−−−√=1+2−−−−√ = √3 ଏକକ

Qକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଓ BQ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।

M ବିନ୍ଦୁଟି 2 + √3 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ।

(vi) √5

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣିଛେ, 4 < 5 < 9 ⇒ √4 < √5 < √9 ⇒ 2 < √5 < 3

∴ √5 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଟି 2 ଓ 3 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 15

OAM ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ OQ = 2 ଏକକ, AQ = 1 ଏକକ

OA = OQ2+AQ2−−−−−−−−−−√=22+12−−−−−−√=4+1−−−−√ = √5 ଏକକ

ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଓ OA ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ନାମରେ ଛେଦକରୁ ।

M ବିନ୍ଦୁଟି √5 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(vii) √3 – 1

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣିଛେ, 1 < 3 < 4 ⇒ 1 < √3 < 2

⇒ 1 – 1 < √3 – 1 < 2 − 1 ⇒ 0 < √3 − 1 < 1

∴ (√3 – 1) ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି ) ଓ 1 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 16

ଏଠାରେ OP = PQ = 1 ଏକକ, OQ = 12+12−−−−−−√ = √2 ଏକକ

ପୁନଶ୍ଚ OQ = ON = 2 ଏକକ ଓ NR = 1 ଏକକ 

∴ OR = (2–√)2+(1)2−−−−−−−−−−√=2+1−−−−√ = √3 ଏକକ । OR = OM = √3 ଏକକ, SM = 1 ଏକକ ।

∴ OS = OM – SM = (√3 – 1) ଏକକ ।

⇒ (√3 – 1)ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି OP ଉପରିସ୍ଥ ଏବଂ S ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ ।

Question 17.

ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସ୍ଥାପନ କରି କେଉଁଟି ବୃହତ୍ତର ସ୍ଥିର କର ।

(i)  -√3 ଓ -√2

ସମାଧାନ:

 -√3 ଓ −√2 ର ମାନ – 2 ଓ – 1 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ବି.ଦ୍ର. – ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରେ ବାମପାର୍ଶ୍ବ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵର ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 17

AOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ OP = PA = 1 ଏକକ

AO = OP2+AP2−−−−−−−−−√=(1)2+(1)2−−−−−−−−−√ = √2

ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି AP¯¯¯¯¯¯¯ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।

∴ M ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ √2 ହେବ ।

BOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ OM = PB = √2 ଏକକ ।

BO = BP2+PO2−−−−−−−−−√=(2–√)2+12−−−−−−−−−√=2+1−−−−√ =√3

ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି OB ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।

N ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ √3 ହେବ ।

ଯେହେତୁ M ବିନ୍ଦୁଟି Nର ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ OR↔ ଉପରିସ୍ଥ – √2> -√3 ।

(ii) 34 ଓ 23

ସମାଧାନ:

34=3×34×3=912,23=2×43×4=812

(ଏହି ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 0 ଓ 1 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥ‌ିବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 18

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରିସ୍ଥ OM = 912=34, ON = 812=23

ଯେହେତୁ M ବିନ୍ଦୁଟି Nର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ତେଣୁ OM > ON ⇒ 34 > 23

(iii) √2 ଓ 1 12

ସମାଧାନ:

√2 ଓ 1 ଏହି ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 1 ଓ 2 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥିବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 19

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରିସ୍ଥ OP = AP = 1 ଏକକ

APO ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ AO

= OP2+AP2−−−−−−−−−√=12+12−−−−−−√ = √2 ଏକକ ।

ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି OA ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ

N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । ON = √2 ଏକକ ।

PR କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରାଯାଉ ଏବଂ PR ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M ହେବ ।

OM = 1 12 ଏକକ । ଯେହେତୁ M ବିନ୍ଦୁଟି Nର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

∴ OM > ON ⇒ 1 12 > √2

(iv) 1.7 ଓ √3

ସମାଧାନ:

1.7 ଓ √3 ଏହି ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 1 ଓ 2 ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 20

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରିସ୍ଥ OP = PA = 1 ଏକକ ।

AOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠ OA

= OP2+PA2−−−−−−−−−√=12+12−−−−−−√ = √2 ଏକକ ।

ପୁନଶ୍ଚ PB = OA = √2 ଏକକ ଏବଂ OP = 1 ଏକକ ।

OB = OP2 + PB2 = 12 + (√2)2 = √3 ଏକକ ।

OB ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଚାପନେଇ ଅଙ୍କନ କଲେ ତାହା

OR↔ କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ । OM = √3 ଏକକ ।

PR କୁ ଦଶଟି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତକଲେ PN = 1.7 ଏକକ ହେବ ।

M ବିନ୍ଦୁ Nର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ। ⇒ PM > PN ⇒ √3 > 1.7

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 18.

ସରଳ କର :

∣∣3√−2√3√+2√−3√+2√3√−2√+12√+1−12√−1∣∣

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 21

Question 19.

ଉଦାହରଣ ନେଇ ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର । (ଯେଉଁଠାରେ x ଓ y ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା) ।

(i) |x + y| ≤ |x| +|y|

ସମାଧାନ:

ମନେକର : x = 23 ଓ y = –12

ବାମ ପଷ : |x + y| = |23 – 12| = | 4−36| = 16

ଦଷିଣ ପଷ : |x| + |y| = 23+−12=23+12=4+36=76

ଏଠାରେ lx + y| < lxl + lyl   …..(i)

ସେହିପରି ମନେକବ x = 23 ଓ y = 15

ବାମପଷ : |x + y| = |23+15|=|10+315|=|1315|∣=1315

ଦଷିଣ ପଷ : |x| + |y| = |23+15|=23+15=10+315=1315

ଏଠାରେ lx + y| = lxl + lyl   …..(ii)

(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଲବା |x + y| ≤ |x| + |y|

ବି.ଦ୍ର. ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ଯେକୌଣସି ମାନନେଇ ପରୀକ୍ଷାକରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରିବ ।

(ii) |x – y| ≥ |x| – |y|

ସମାଧାନ:

ମନେକର : x = 23 ଓ y = –12

ବାମ ପଷ : |x – y| = ∣∣23−(−12)∣∣=∣∣23+12∣∣=∣∣4+36∣∣=76

ଦଷିଣ ପଷ : |x| – |y| = ||23|−|−12|=|23−12|=|4−36|=16

∴ ଏଠାରେ lx – y| > lxl + lyl   …..(i)

ସେହିପରି ମନେକବ x = 23 ଓ y = 15

ବାମପଷ : |x – y| = |23−15|=|10−315|=715

ଦଷିଣ ପଷ : ||x| – |y|| =||23|−|15||∣=|23−15|=|10−315|=|715|=715

∴ lx – y| = lxl – lyl   …..(ii)

(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଲବା |x – y| ≥ |x| – |y|

Question 20.

ସରଳ କର :

(i) ((a−−√n)n√)n√ a > 0, n ∈ N

ସମାଧାନ:

= (a−−√n)n=(a1n)n=an×1n = a1 = a

(ii) (33−−√3)3√3

ସମାଧାନ:

= {(3–√3)3√3}323={(3–√3)313}323=(313)31+23=(313)313+23=(313)33=3133×3 = 31 = 3

(iii) 27113×19−−√÷8114

ସମାଧାନ:

= 2743×13÷(34)14

= (33)43×13÷34×14=33×43 × 3-1 ÷ 3 = 34 × 3-1 ÷ 3 = 34-1-1 = 32 = 9

Question 21.

ଗୁଣଫଳ ନିଶୁଯୁ କର ।

(i) (a12+b12)(a12−b12) (a > 0, b > 0)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 22

(ii) (1−a14)(1+a14)(1+a12) (a > 0)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 23

(iii) (1+a12)(1+a14)(1+a18)(1+a116)(1+a132)(1−a132) (a > 0)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 24

(iv) (x−−√3+y√3)(x2−−√3−xy−−√3+y2−−√3) (x > 0, y > 0)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 25

(v) (x−1+x−12⋅y−12+y−1)(x−1−x−12⋅y−12+y−1) (x > 0, y > 0)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 26

Question 22.

ସରଳ କର :

(i) x12y23z13−−−−−−−√3+(xyz)13

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 27

(ii) x2y4z−1−−−−−−−√3+x−23y2z−13−−−−−−−−−√ (x > 0, y > 0, z > 0)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 28

Question 23.

{x, y, z, a, b, c} ⊂ R ଓ x > 0, y > 0, z > 0 ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ

(i) x−1y−−−−√×y−1z−−−−√×z−1x−−−−√ = 1

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 29

(ii) (xaxb)1ab×(xbxc)1bc×(xcxa)1ca = 1 (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 30

(iii) (x1a−b)b−c×(x1b−c)c−a×(x1c−a)a−b = 1 [a, b ଓ c [ର ମୂଲ୍ୟ ଅସମାନ]

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 31

Question 24.

(i) a = 23−2−13 ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, 2a3 + 6a = 3

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 32

(ii) a = x3−x−13 ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, a3 + 3a = x – 1x

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 33

Question 25.

xର ମୂଲ୍ୟ ନିବୂପଶ କର‍ ।

(i) 3x+1 = 9

ସମାଧାନ:

3x+1 = 9

⇒ 3x+1 = 32

⇒ x + 1 = 2

⇒ x = 2 – 1

⇒ x = 1

(ii) 22x+1 = 8

ସମାଧାନ:

22x+1 = 8

⇒ 22x+1  = 23

⇒ 2x + 1 = 3

⇒ 2x = 3 – 1

⇒ 2x = 2

⇒ x = 22 = 1

(iii) (√2)2x-1 = 1

ସମାଧାନ:

(√2)2x-1 = 1

⇒ 22x−12 = 20

⇒ 2x−12 = 0

⇒ 2x – 1 = 0

⇒ 2x = 1

⇒ x = 12

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 26.

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଓ ଆଲୋଚିତ ଅନ୍ୟ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

(i) a(a – b) = a2 – ab

ସମାଧାନ:

a(a – b) = a.a – ab (ବଶ୍ନ ନିୟମ)

= a2 – ab (ସଂଞା)

∴ a(a – b) = a2 – ab (ପ୍ରମାଶିଢ)

(ii) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

ସମାଧାନ:

(a + b)2 = (a + b). (a + b) (ସଂଞା)

= a(a + b) +b(a + b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a.a + a.b + b.a + b.b (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a2 + ab + ba+ b2  (ସଂଞା)

= a2 + ab + ab+ b2 (କ୍ମମବିନିମୟୀ ନିୟମ)

= a2 + 2ab + b2(ସଂଞା)

(a – b)2 = (a – b). (a – b) (ସଂଞା)

= a(a – b) +b(a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a.a – a.b – b.a + b.b (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a2 – ab – ba + b2  (ସଂଞା)

= a2 – ab – ab + b2 (କ୍ମମବିନିମୟୀ ନିୟମ)

= a2 – 2ab + b2(ସଂଞା)

(iii) (a + b) (a – b) = a2 – b2

ସମାଧାନ:

(a + b) (a – b) = a(a – b) + b(a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a.a – a.b + b.a – b.b (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a2 – ab + ba – b2(ସଂଞା)

= a2 – ab + ab – b2 (କ୍ମମବିନିମୟୀ ନିୟମ)

= a2 – b2

∴ (a + b) (a – b) = a2 – b2

(iv) (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

ସମାଧାନ:

(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b) (ସଂଞା)

= {a(a + b) +(a + b)} (a + b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= (a.a + a.b + b.a + b.b) (a + b) (ସଂଞା)

= (a2 + ab + ba + b2) (a + b) (ସଂଞା)

= (a2 + ab + ab + b2) (a + b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= (a2 + 2ab + b2) (a + b) (ସଂଞା)

= a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2) (ବଶ୍ନନ)

= a.a2 + a.2ab + a.b2 + b.a2 + b.2ab + b.b2 (ବଶ୍ନନ)

= a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 + 2ab2 + b3 (ସଂଞା)

= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

∴ (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b)

(a – b)3 = (a – b) (a – b) (a – b) (ସଂଞା)

= {a(a – b) +(a – b)} (a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= (a.a – a.b – b.a + b.b) (a – b) (ସଂଞା)

= (a2 – ab – ba + b2) (a – b) (ସଂଞା)

= (a2 – ab – ab + b2) (a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= (a2 – 2ab + b2) (a – b) (ସଂଞା)

= a(a2 – 2ab + b2) – b(a2 – 2ab + b2) (ବଶ୍ନନ)

= a.a2 – a.2ab + a.b2 – b.a2 + b.2ab – b.b2 (ବଶ୍ନନ)

= a3 – 2a2b + 2ab2 – b3 + 2ab2 – b3 (ସଂଞା)

= a3 – 2a2b + ab2 – ba2 + 2ab2 – b3 (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (ସଂଞା)

∴ (a – b)3 = (a – b) (a – b) (a – b)

(v) (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

ସମାଧାନ:

(a + b) (a2 – ab + b2) = a(a2 – ab + b2) + b(a2 – ab + b2) (ବଶ୍ନନ)

= a.a2 – a.ab + a.b2 + b.a2 – b.ab + b.b2 (ବଶ୍ନନ)

= a3 – a2b + a.b2 + b.a2 – ab2 + b3 (ସଂଞା)

= a3 – a2b + a.b2 + a2b – ab2 + b3 (କ୍ମମବିନିମୟୀ)

= a3 + b3

(vi) (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

ସମାଧାନ:

(a – b) (a2 + ab + b2) = a(a2 + ab + b2) – b( (a2 + ab + b2) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)

= a.a2 + a.ab + a.b2 – b.a2 – b.ab – b.b2 (ବଶ୍ନନ)

= a3 + a2b + a.b2 – b.a2 – ab2 – b3 (ସଂଞା)

= a3 + a2b + a.b2 – a2b – ab2 – b3 (କ୍ମମବିନିମୟୀ)

= a3 – b3

Question 27.

x ∈ R, x ≠ 0, a, b, c ∈ R ହେଲେ ପ୍ରମାଶି କର ଯେ 11+xb−a+xc−a+11+xc−b+xa−b+11+xa−c+xb−c = 1

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 34

Question 28.

ନିମ୍ନଲିଖତ କ୍ଷେତ୍ରରେ x ର ମାନ ନିରୂପଣ କର :

(i) |x – 3| = 7

ସମାଧାନ:

|x – 3| = 7

ଯତି x – 3 ≥ 0 ⇒ |x – 3| = x – 3

∴ x – 3 = 7 ⇒ x = 3 + 7 = 10

ଯତି x – 3 ≤ 0 ⇒ |x – 3| = -(x – 3)

∴ -(x – 3) = 7 ⇒ -x + 3 = 7 ⇒ x = -7 + 3 ⇒ x = -4

∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {-4, 10}

(ii) |x + 1| = 11

ସମାଧାନ:

|x + 1| = 11 ଯତି x + 1 ≥ 0 ⇒ |x + 1| = x + 11

∴ x + 1 = 11 ⇒ x = 11 – 1 = 10

ଯତି x + 1 ≤ 0 ⇒ |x + 1| = -(x + 1)

∴ -(x + 1) = 11 ⇒ -x – 1 = 11 ⇒ -x = 11 + 1 = 12

⇒ x = -12

∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {10, -12}

(iii) |2x – 1| = 3

ସମାଧାନ:

|2x – 1| = 3 ଯତି 2x – 1 ≥ 0 ⇒ |2x – 1| = 2x – 1

∴ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 3 + 1 = 4 ⇒ x = 42 = 2

ଯତି 2x – 1 ≤ 0 ⇒ |2x – 1| = -(2x – 1)

∴ -(2x – 1) = 3 ⇒ -2x + 1 = 3 ⇒ -2x = 3 – 1 = 2

⇒ x = 2−2 = -1

∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {2, -1}

(iv) |3x + 4| = 5

ସମାଧାନ:

|3x + 4| = 5 ଯତି 3x + 4 ≥ 0 ⇒ |3x + 4| = 3x + 4

∴ 3x + 4 = 5 ⇒ 3x = 5 – 4 = 1 ⇒ x = 13

ଯତି 3x + 4 ≤ 0 ⇒ |3x + 4| = -(3x + 4)

∴ -(3x + 4) = 5 ⇒ -3x – 4 = 5

⇒ -3x = 5 + 4 = 9 ⇒ x = 9−3 = -3

∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {13, -3}

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 29.

ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ରାଶିମାନଙ୍କୁ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(i) 33+5√

ସମାଧାନ:

33+5√=3(3−5√)(3+5√)(3−5√)=9−35√32−(5√)2=9−35√9−5=9−35√4=94−35√4

(ii) 2√1+8√

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 35

(iii) 3√−13√+1

ସମାଧାନ:

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) 36

Question 30.

ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଅସମୀକରଣମାନଙ୍କୁ ସମାଧାନ କର ।

(i) |x| = 12

ସମାଧାନ:

|x| < 12 ⇒ –12 < x < 12 (ସୂଢ୍ର ଅନୁସାରେ)

(a) ଯତି x ≥ 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = x ∴ x < 12

(b) ଯତି x < 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = -x ∴ -x < 12 ⇒ x > –12

a ଓ bରୂ –12 < x < 12

(ii) |x| > 1

ସମାଧାନ:

|x| > 1

⇒ x < -1 କିମୃ‍। x > 1 (ସୂଢ୍ର ଅନୁସାରେ)

(a) ଯତି x ≥ 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = x ∴ x > 1

(b) ଯତି x < 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = -x ∴ -x > 1 ⇒ x < -1

a ଓ bରୂ ପାକବା x > 1 କିମୃ‍। x < -1

(iii) |3x| ≤ 5

ସମାଧାନ:

|3x| ≤ 5 ⇒ -5 ≤ 3x ≤ 5

⇒ −53 ≤ 3x3 ≤ 53 ⇒ −53 ≤ a ≤ 53

(iv) |2x| ≥ 3

ସମାଧାନ:

|2x| ≥ 3 ⇒ -3 ≥ 2x ≥ 3

⇒ 2x ≤ -3 କିମୃ‍। 2x ≥ 3 ⇒ 2x2 ≤ -3 କିମୃ‍। 2x ≥ 3

⇒ x ≤ -3 ⇒ 2x2 ≥ 32 ⇒ x ≥ 32 ∴ x ≤ -3 କିମୃ‍। x ≥ 32

(v) |3x – 1| ≤ 7

ସମାଧାନ:

|3x – 1| ≤ 7 ⇒ -7 ≤ 3x – 1 ≤ 7

⇒ -7 + 1 ≤ 3x – 1 + 1 ≤ 7 + 1 ⇒ -6 ≤ 3x ≤ 8

⇒ −63 ≤ 3x3 ≤ 83 ⇒ -2 ≤ x ≤ 83

(vi) |7x + 3| ≥ 5

ସମାଧାନ:

|7x + 3| ≥ 5

ସୂଢ୍ର ଅନୁସାରେ -5 ≥ 7x + 3 ≥ 5

⇒ 7x + 3 ≤ -5 କିମୃ‍। 7x + 3 ≥ 5

⇒ 7x + 3 – 3 ≤ -5 -3 ⇒ 7x + 3 – 3 ≥ 5 – 3

⇒ 7x ≤ -8 ⇒ 7x ≥ 2

⇒ 7x7 ≤ −87 ⇒ 7x7 ≥ 27

⇒ x ≤ −87 ⇒ x ≥ 27

∴ x ≤ −87 କିମୃ‍। x ≥ 27