Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) 115×16=…..−116
(b) 112×11=−111 – …….
(c) 1n(n+1)=…..−1n+1
(d) 1(n+1)n=−1n – …….
(e) 5 ଓ 9 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକଟି …..
(f) x ଓ 7 ମଧ୍ଯସ୍ଥ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି 5 ହେଲେ x = …..
(g) (a + b) 8 (a – b) ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକଟି ………
(h) ଦୁଇଟି ରାଶିର A.M. 11, ଯଦି ଗୋଟିଏ ରାଶି 7 ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟଟି ……….
ଉ-
(a) 115
(b) 112
(c) 1n
(d) 1n+1
(e) 7
(f) 3
(g) a
(h) 15
ବ୍ୟାଖ୍ୟା ସହ ଉତ୍ତର:
(a) 115×16=115−116[ R.H.S. =115−116=16−1515×16=115×16= L.H.S. ]
(b) 112×11=111−112
(c) 1n(n+1)=1n−1n+1
(d) 1(n+1)n=1n−1n+1
(e) 5 ଓ 9 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକଟି = 5+92=142=7
(f) x ଓ 7 ମଧ୍ଯସ୍ଥ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି 5 ହେଲେ x = x+72 = 5 ⇒ x = 10 – 7 = 3
(g) (a + b) 8 (a – b) ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକଟି a+b+a−b2=2a2 = a
(h) ଦୁଇଟି ରାଶିର A.M. 11, ଯଦି ଗୋଟିଏ ରାଶି 7 ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟଟି x
∴ x+72 = 11 ⇒ x = 22 – 7 = 15
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b)
Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ନିଶ୍ଚୟ କର ।
(a) 11×2+12×3+13×4 ……..20ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ;
(b) 15×6+16×7+17×8 ……..16ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ
ସମାଧାନ :
(a) 11×2+12×3+13×4 ……..20ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ;
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b) -1
(b) 15×6+16×7+17×8 …….16ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମଷ୍ଟି।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b) -2
Question 3.
(a) 7 × 15 + 8 × 20 + 9 × 25 + …..ର tn ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(b) 6Σn²+4Σn³ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(c) 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 ….. + n (n + 1) ପାଇଁ Sn ଓ S20 ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(d) 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 …… tn, Sn ଓ S10 ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
(a) 7 × 15 + 8 × 20 + 9 × 25 …….ର tn
ରାଶିମାଳାର ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ 7,8, 9, A.P.ରେ ଅଛନ୍ତି ।
a = 7, d = 8 – 7 = 9 – 8 = 1
∴ tn = a + (n – 1) d = 7 + (n – 1 ) 1 = 7 + n – 1 = n + 6
ରାଶିମାଳାଟିର ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ 15, 20, 25 ……. A.P. ଅଛନ୍ତି ।
a = 15, d = 5, tn = a + (n – 1)d = 15 + (n – 1)5 = 15 + 5n – 5 = 5n + 10
∴ 7 × 15 + 8 × 20 + 9 × 25 + …..ର tn = (n + 6)(5n + 10)
= 5(n + 6)(n + 2) = 5(n² + 8n + 12)
(b) 6Σn²+4Σn³ = 6×n(n+1)(2n+1)6+4{n(n+1)2}2
= n(n + 1)(2n + 1) + n²(n + 1)²
= n(n + 1){(2n+ I + n(n + 1)} = n(n + 1)(n² + 3n + 1)
(c) 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 ….. + n (n + 1)
ଏଠାରେ tn = n(n + 1)= n² + n
Sn = Σn² + Σn = n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2
= n(n+1){2n+16+12}
= (n² + n){2n+1+36} = (n²+n)(2n+4)6
= n(n+1)(n+2)3
S20 = 20×21×223 = 3080
(d) 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 ……
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକ 1, 2, 3, 4 ……. । ଏହାର t = n
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଦ୍ଵିତୀୟ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ 3, 4, 5, …
0166 a = 3, d=4-35-4=1
t =
= a + (n – 1 ) d = 3 + (n – 1) 1 = n + 2
∴ ରାଶିଟିର t = n(n + 2) = n² + 2n
Sn = Σn² + 2Σn = n(n+1)(2n+1)6+2n(n+1)2
= n(n+1)(2n+16+1) = n(n+1)(2n+7)6
Sn = n(n+1)(2n+7)6
S10 = n(n+1)(2n+7)6 = 10×(10+1)(2×10+7)6 = 10×11×276 29706 = 495
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b)
Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକର n ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(a) 1.1 + 2.3 + 3.5 +4.7 + …….
(b) 1.3 +3.5 + 5.7 + 7.9 + …….
(c) 3.8 +6.11 + 9.14 + …….
(d) 1+ (1 + 3) + (1 + 3 + 5) +
(e) 1² + 4² + 7² + 10² + …….
(f) 2² + 4² +6² + 8² + …….
(g) 1 + 5 + 12 +22 + 35+…….
(h) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + (1² + 2² + 3² + 4²) + ……….
ସମାଧାନ :
(a) 1.1 + 2.3 + 3.5 + 4.7 + …..
ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ 1, 2, 3, 4 …….
ଏହାର tn = n
ସେହିପରି ଦ୍ୱିତୀୟ ଶ୍ରେଣୀର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ 1, 3, 5, 7 ……. । ଏହାର a = 1, d = 3 − 1 = 2
ଏହାର tn = 1 + (n – 1) × 2 = 2n – 1
ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର tn = n(2n – 1) = 2n² – n
Sn = 2Σn² – Σn = 2n(n+1)(2n+1)6−n(n+1)2
= n(n+1)(4n+26−12) = n(n+1)(4n+2−3)6 = n(n+1)(4n−1)6
Sn = n(n+1)(4n−1)6
(b) 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 + …….
ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକ 1, 3, 5, 7 ……. A.P. ଅଟନ୍ତି ।
tn = 1 + (n – 1) 2 = 2n – 1
ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୁଣନୀୟକ 3, 5, 7, 9,
ଏଠାରେ a = 3, d = 5 – 3 = 2
tn = 3 + (n – 1) × 2 = 3 + 2n – 2 = 2n + 1
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b) -3
(c) 3.8 +6.11 + 9.14 + …….
ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ପ୍ରଥମ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ 3, 6, 9, ……. A.P. ଅଟନ୍ତି ।
a = 3, d = 6 – 3 = 9 – 6 = 3, t = 3 + (n – 1 ) × 3 = 3n
ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଦ୍ବିତୀୟ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ 8, 11, 14, …….
a = 8, d = 11-8 = 14 – 11 = 3
tn = a + (n – 1) d = 8 + (n – 1) 3 = 8 + 3n – 3 = 3n + 5
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b) -4
(d) Sn = 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + …….. + tn
= 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + …… +(1 + 3 + 5 + 7) …….
ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର tn = 1 + 3 + 5 + 7 +……. + n-ତମ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ
⇒ tn = n2 {2·1 + (n – 1) 2} = n2 (2 + 2n – 2) = n²
⇒ Sn = Σn² = 2n(n+1)(2n+1)6 = 16n (n² + 3n + 1)
(e) 1² + 4² + 7² + 10² + …….
1, 4, 7, 10 ……… A.P.
a = 1, d= 4 – 1 = 7 – 4 = 3, tn = 1 + (n – 1) × 3 = 1 + 3n – 3 = 3n – 2
ଦତ୍ତ ଶ୍ରେଣୀର tn = (3n – 2)² = 9n² – 12n + 4
⇒ Sn = 9Σn² – 12Σn + 4Σ1 = 9n(n+1)(2n+1)6−12n(n+1)2+4n
= (9n²+9n)(2n+1)−36n²−36n+24n6
= 16 (18n³ + 9n² + 18n² + 9n – 36n² – 36n + 24n)
= 16 (18n³ – 9n² – 3n)
= 36 (6n³ – 3n² – n)
= n2 (6n³ – 3n² – n)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b)
(f) Sn = 2² + 4² +6² + 8² + ……. = 2²(1² + 2² +3² + 4² + ….. + tn)
= 4n(n+1)(2n+1)6 (∵ 1² + 2² +3² + 4² + ….. + n² = 4n(n+1)(2n+1)6)
⇒ Sn = 23 n(n + 1)(2n + 1)
(g)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b) -5
⇒ tn = 1 + 4 +7 + 10 + 13 + ….. n ତମ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ
= n2 {2 + (n – 1) × 3}
= n2 {2 + 3n – 3}
= n2 {3n – 1}
= 32 n² – 12n
Sn = 32 Σn² – 12 Σn
= 32 4n(n+1)(2n+1)6 – 12 n(n+1)3
= n(n+1)(2n+1)4 – n(n+1)4
= n(n+1)4 (2n + 1 – 1) = n(n+1)×2n4 = 12n² (n+1)
(h) Sn = 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + (1² + 2² + 3² + 4²) + ……….
tn = (1²+ 2²+ 3² + ………. + n²)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b) -6
Question 5.
15 ଓ 27 ମଧ୍ଯରେ (i) ଗୋଟିଏ ଓ (ii) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ ସ୍ଥାପନ କର ।
ସମାଧାନ :
(i) 15 ଓ 27 ମଧ୍ଯରେ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ x = a+b2=15+272=422=21
(ii) ମନେକର 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥିବା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ x1 ଓ x2।
ଏଠାରେ a = 15, b = 27, d = b−a3=27−153=123=4
x1 = a + d = 15 + 4 = 19, x2 = a + 2d = 15 + 2 × 4 = 23
∴ 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ଦୁଇଟି A.M. 19 ଓ 23।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
(i) 15 ଓ 27 ମଧ୍ଯସ୍ଥ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ = 15+272=422=21
(ii) ମନେକର 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ x, y ।
∴ 15, x, y, 27 A.P. ରେ ଆବସ୍ଥିତ ।
a = 15, a + d = x, a + 2d = y, a + 3d = 27
⇒ 15 + 3d = 27 ⇒ 3d = 27 – 15 = 12 ⇒ d = 4
x = a + d = 15 + 4 = 19, y = a + 2d = 15 + 2 × 4 = 23
∴ 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ 19 ଏବଂ 23 ।
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
ଏଠାରେ d = 27−153=123=4
x1 = a + d = 15 + 4 = 19 ଏବଂ x2 = a + 2d = 15 + 2 × 4 = 23
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b)
Question 6.
12 ଓ 36 ମଧ୍ଯରେ (i) ଦୁଇଗୋଟି ଓ (ii) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ ସ୍ଥାପନ କର ।
ସମାଧାନ :
(i) ମନେକର 12 ଓ 36 ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥିତ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ p1 ଓ p2।
ଏଠାରେ a = 12, b = 36, d = b−a3=36−123=243=8
P1 = a + d = 12 + 8 = 20, p2 = 12 + 2d = 12 + 2 × 8 = 28
∴ 12 ଓ 36 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ 20 ଓ 28 ।
(ii) ମନେକର 12 ଓ 36 ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥିତ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ x1,x2 ଓ x3।
ଏଠାରେ a = 12, b = 36, d = b−a4=36−124=244=6
x1 = a + d = 12 + 6 = 18, x2 = a + 2d = 12 + 2 × 6 = 24.
x3 = a + 3d = 12 + 3 × 6 = 12 + 18 = 30
∴ 12 ଓ 36 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ 18, 24 ଓ 30 ।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
(i) ମନେକର 12 ଓ 36 ମଧ୍ଯସ୍ଥ ଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ x ଏବଂ y ।
∴ 12, x, y, 36 A.P. ରେ ଆସ୍ଥିତ ।
ଏଠାରେ a = 12 ଓ t4 = 36 ⇒ a + (4 – 1) d = 36
⇒ 12 + 3d = 36 ⇒ 3d = 36 – 12 = 24 ⇒ d = 243=8
x = a + d = 12 + 8 = 20, y = a + 2d = 12 + 2 × 8 = 28
(ii) ମନେକର 12 ଓ 36 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ x, y, z । 12, x, y, z, 36 A.P. ରେ ଆସ୍ଥିତ ।
ଏଠାରେ a = 12 ଓ t5 = 36 ⇒ a + (5 – 1) d = 36
⇒ a + 4d = 36 ⇒ 4d = 36 – 12 = 24 ⇒ d = 6
x = a + d = 12 + 6 = 18, y = a + 2d = 12 + 2 × 6 = 12 + 12 = 24
z = a + 23d = 12 + 3 × 6 = 12 + 18 = 30
Question 7.
6 ଓ 46 ମଧ୍ଯରେ (i) ଦୁଇଗୋଟି ଓ (ii) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ ସ୍ଥାପନ କର ।
ସମାଧାନ :
(i) ମନେକର 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ x1 ଓ x2।
ଏଠାରେ a = 6, b = 46, d = 46−63=403
x1 = a + d = 6 + 403 = 18+403=583
x2 = a + 2d = 6 + 2 × 403 = 6+803=18+803=983
∴ 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ 583 ଓ 583 ।
(ii) ମନେକର 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟରେ 4ଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ x1,x2,x3 ଓ x4।
ଏଠାରେ a = 6, b = 46,
d = b−a5=46−65=405=8
x1 = a + d = 6 + 8 = 14
x2 = a + 2d = 6 + 2 × 8 = 22
x3 = a + 3d = 6 + 3 × 8 = 30
x4 = a + 4d = 6 + 4 × 8 = 38
∴ 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଚାରିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ 14, 22, 30 ଓ 38 ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b)
Question 8.
5 ଓ 65 ମଧ୍ଯରେ (i) ତିନିଗୋଟି ଓ (ii) ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ ସ୍ଥାପନ କର ।
ସମାଧାନ :
(i) ମନେକର 5 ଓ 65 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ x1, x2 ଓ x3 ।
ଏଠାରେ a = 5, b = 65
d = b−a4=65−54=605=15
x1 = a + d = 5 + 15 = 20
x2 = a + 2d = 5 + 2 × 15 = 35
x3 = a + 3d = 5 + 3 × 15 = 50
∴ 5 ଓ 65 ମଧ୍ଯସ୍ଥ ତିନୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ 20, 35, 50 ।
(ii) ମନେକର 5 ଓ 65 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ପାଞ୍ଚାଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ x1, x2, x3, x4 ଓ x5 ।
ଏଠାରେ a = 5, b = 65
d = b−a6=65−56=606=10
x1 = a + d = 5 + 10 = 15
x2 = a + 2d = 5 + 2 × 10 = 25
x3 = a + 3d = 5 + 3 × 10 = 35
x4 = a + 2d = 5 + 4 × 10 = 45
x5 = a + 3d = 5 + 5 × 10 = 55
∴ 5 ଓ 65 ମଧ୍ଯସ୍ଥ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ 15, 25, 35, 45 ଓ 55 ।
Question 9.
11 ଓ 71 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ ସ୍ଥାପନ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ x1, x2, x3, x4 ଓ x5 ।
ଏଠାରେ a = : 11, b = 71, d = b−a6=71−116=606=10
x1 = a + d = 11 + 10 = 21
x2 = a + 2d = 11 + 2 × 10 = 31
x3 = a + 3d = 11 + 3 × 10 = 41
x4 = a + 2d = 11 + 4 × 10 = 51
x5 = a + 3d = 11 + 5 × 10 = 11 + 50 = 61
∴ 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ 21, 31, 41, 51 ଓ 61 ।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ମନେକର 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ପାଞ୍ଚଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ଯକ p, q, r, s ଓ t ।
∴ 11, p, g, r, s, t, 71 A.P.ରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ଏଠାରେ a = 11, t, = 71
t7 = 71 ⇒ a + (7 – 1)= 71 ⇒ 11 + 6d = 71
⇒ 6d = 71 – 11 = 60 ⇒ d = 606=10
p = a + d = 11 + 10 = 21
q = a + 2d = 11 + 2 × 10 = 31
r = a + 3d = 11 + 3 × 10 = 41
s = a + 4d = 11 + 4 × 10 = 51
t = a + 5d = 11 + 5 × 10 = 61
∴ 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ପାଞ୍ଚଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ 21, 31, 41, 51 ଓ 61 ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି Ex 3(b)
Question 10.
20 ଓ 80 ମଧ୍ୟରେ n ସଂଖ୍ୟକ A.M. ଅଛି । ଯଦି ପ୍ରଥମ ମଧ୍ୟକ : ଶେଷ ମଧ୍ଯକ = 1 : 3 ହୁଏ ତେବେ, nର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
20 ଓ 80 ମଧ୍ୟରେ n ସଂଖ୍ୟକ A.M. ଅଛି । ଏଠାରେ a = 20
tn+2 = 80 ⇒ a + (n + 2 – 1) d = 80
⇒ 20 + (n+1)d = 80 ⇒ (n + 1) d = 80 – 20 ⇒ (n + 1) d = 60 …….(i)
ପ୍ରଥମ ମଧ୍ୟକ = 20 + d ଓ ଶେଷ ମଧ୍ଯକ = 80 – d
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 20+d80−d=13 ⇒ 60 + 3d = 80 – d ⇒ 80 – 60 = 20 ⇒ d = 5
∴ (i)ରୁ (n + 1) d = 60 ⇒ (n + 1) 5 = 60
⇒ n + 1 = 605 = 12 ⇒ n = 12 -1 = 11
∴ nର ମାନ 11 ଅଟେ ।
Question 11.
A.P.ରେ ଥିବା ଚାରିଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 2 ଏବଂ ଆଦ୍ୟ ଓ ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଧୟର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ଯକ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର 10 ଗୁଣ ସହ ସମାନ ହେବ ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର A.P. ରେ ଥିବା ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ a – 3d, a – d, a + d, a + 3d ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, a – 3d + a – d + a + d + a + 3d = 2
⇒ 4a = 2 ⇒ a = 24=12
ପୁନଶ୍ଚ, (a – 3d) (a + 3d) = 10 (a – d) (a + d)
⇒ a² – 9d² = 10(a² – d²) ⇒ 10a² – 10d² = a² – 9d²
⇒ 10a² – a² = 10² – 9d² ⇒ 9a² = d²
⇒ 9 × (12)² = d² = 94 = d = ±94−−√
d = ±32
a = 12 ଓ d = 32 ହେଲେ
a – 3d = 12 – 3 × 32 = 12−92=−82=−4
a – d = 12 – 32 = −22 = -1
a + d = 12 + 32 = 42 = 2
a + 3d = 12 + 3 × 32 = 102 = 5
a = 12 ଓ d = −32 ହେଲେ A.P. ଚାରୋଟି ପଦ 5, 2, – 1, – 4 ହେବ ।
∴ A.P.ରେ ଥିବା ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ -4, -1, 2, 5 ବା 5, 2, -1, -4 ।
No comments:
Post a Comment