BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

Question 1.

ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିମ୍ନଲିଖ୍ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ କର ।

(i) x + y – 8 = 0, 2x – 3y – 1 = 0

(ii) 3x + 2y – 5 = 0, x – 3y – 9 = 0

(iii) 2x – 5y + 8 = 0, x – 4y + 7 = 0

(iv) 11x + 15y + 23 = 0, 7x – 2y – 20 = 0

(v) ax + by – a + b = 0, bx – ay – a – b = 0

(vi) x + y – a = 0, ax + by – b² = 0

ସମାଧାନ ପ୍ରଣାଳୀ :

(i) ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକରୁ ‘x’ କିମ୍ବା ‘y’ର ମାନ ନେଇ ଯଥାକ୍ରମେ y କିମ୍ବା x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।

(ii) x କିମ୍ବା yର ମାନକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଯଥାକ୍ରମେ y କିମ୍ବା x ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଉ ।

(iii) ଉକ୍ତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ମାନକୁ (y କିମ୍ବା x) ନେଇ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଅନ୍ୟଟିର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।

ସମାଧାନ :

(i) x + y – 8 = 0 …….(i) ଏବଂ

2x – 3y – 1 = 0 …….(ii)

ସମୀକରଣ (i)କୁ ବିଚାର କରି yକୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଉ ।

x + y – 8 = 0 ⇒ y = 8 – x ……..(iii)

y ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ପାଇବା 2x – 3(8 – x) – 1 = 0

⇒ 2x – 24 + 3x – 1 = 0 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 255 = 5

x ର ମାନ ସମୀକରଣ (iii)ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, y = 8 – x = 8 – 5 = 3

∴ ନିର୍ଦେୟ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (x, y) = (5, 3) ଅଟେ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

(ii) 3x + 2y – 5 = 0 …….(i) ଏବଂ

x – 3y – 9 = 0 …….(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ 3x = 5 – 2y ⇒ x = 5−2y3 …….(iii)

‘x’ ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, 5−2y3 – 3y – 9 = 0

⇒ 5−2y−9y−273 ⇒ 0 = -22 – 11y = 0

⇒ 11y = -22 = y = −2211 = -2

yର ମାନ ସମୀକରଣ (iii)ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

x = 5−2y3 = 5−2(−2)3 = 5+43 = 93=3

∴ ନିର୍ଦେୟ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (x, y) = (3, -2) ଅଟେ ।

(iii) 2x – 5y + 8 = 0 …….(i) ଏବଂ

x – 4y + 7 = 0 …….(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ବିଚ।ର କରି x କୁ y ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଉ ।

2x – 5y + 8 = 0 ⇒ 2x = 5y – 8 ⇒ x = 12(5y – 8) …….(iii)

‘x’ ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, 12(5y – 8) – 4y + 7 = 0

⇒ 5y−8−8y+142 = 0

⇒ -3y + 6 = 0 ⇒ y = −6−3 = 2

yର ମାନ ସମୀକରଣ (iii)ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, x = 12(5 × 2 – 8) = 12 × 2 = 1

∴ ନିର୍ଦେୟ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (x, y) = (1, 2) ଅଟେ ।

(iv) 11x + 15y + 23 = 0 …….(i) ଏବଂ

7x – 2y – 20 = 0 …….(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ବିଚ।ର କରି y କୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଉ ।

11x + 15y + 23 = 0 ⇒ 15y = -11x – 23

⇒ y = 115(-11x – 23) …….(iii)

‘y’ ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, 7x – 215(-11x – 23) = 20

⇒ 105x+22x+4615 = 20

⇒ 127x = 300 – 46 ⇒ x = 254127 = 2

x ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, y = latex]\frac{1}{15}[/latex](-22 – 23) = 115 × -45 = -3

∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (2, -3) ।

(v) ax + by – a + b = 0 …….(i) ଏବଂ

bx – ay – a – b = 0 …….(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ବିଚ।ର କରି y କୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଉ ।

ax + by – a + b = 0 ⇒ by = -ax + a – b

⇒ y = 1b(-ax + a – b) …….(iii)

y ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, bx – ab(-ax + a – b) = 0

⇒ b2x+a2x−a2+ab−ab−b2b = 0

⇒ x(a² + b²) = a² + b² ⇒ x = a2+b2a2+b2 = 1

x ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, y = latex]\frac{1}{b}[/latex](-a + a – b) ⇒ y = −bb = -1

∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (1, -1) ଅଟେ।

(vi) x + y – a = 0 …….(i) ଏବଂ

ax + by – b² = 0 …….(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ବିଚ।ର କରି y କୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଉ ।

x + y – a = 0 ⇒ y = a – x …….(iii)

y ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, ax + b(a – x) – b² = 0

⇒ ax + by – bx – b² = 0 ⇒ ax – bx = b² – ab

⇒ x(a – b) = -b(a – b) [a = b ତେଣୁ a – b ≠ 0]

ତେଣୁ x = -b

‘x’ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, y = a + b

∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (-b, a+b)।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

Question 2.

ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିମ୍ନଲିଖ ସହ ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର ।

(i) x – y – 3 = 0, 3x – 2y – 1 = 0

(ii) 3x + 4y = 10, 2x – 2y = 2

(iii) 3x – 5y – 4 = 0, 9x = 2y – 1

(iv) 0.4x – 1.5y = 6.5, 0.3x + 0.2y = 0.9

(v) √2x + √3y = 0, √5x + √2y = 0

(vi) ax + by = 0, x + y – c = 0 (a+b ≠ 0)

ସମାଧାନ ପ୍ରଣାଳୀ :

(i) ସମୀକରଣଦ୍ବୟରୁ ‘x’ ଅପସାରଣ କରାଯାଇ y ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।

(ii) y ର ମାନକୁ ଯେକୌଣସି ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି x ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।

(iii) ସେହିପରି ସମୀକରଣଦ୍ଵୟରୁ yକୁ ଅପସାରଣ କରାଯାଇ ‘x’ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ଏହାକୁ ଯେକୌଣସି ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ‘y’ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇ ପାରିବ ।

ସମାଧାନ :

(i) x – y – 3 = 0 ……… (i) ଏବଂ

3x – 2y – 1 = 0 ………. (ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -1

x ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

x – y – 3 = 0 ⇒ 4 – y – 3 = 0 ⇒ -y + 1 = 0 ⇒ y = 1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (4, 1) ଅଟେ।

(ii) 3x + 4y = 10 ……… (i) ଏବଂ

2x – 2y = 2 ………. (ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -2

x ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

3x + 4y = 10 ⇒ 2 + 4y = 10 ⇒ 4y = 10 – 6 ⇒ y = 44 = 1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (2, 1) ଅଟେ।

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 ……… (i) ଓ

9x = 2y – 1 ⇒ 9x – 2y + 1 = 0 ………. (ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -3

x ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

3x – 5y – 4 = 0

⇒ 3 × (–13) – 5y – 4 = 0

⇒ -5y – 5 = 0 ⇒ y = 5−5 = -1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (–13, -1) ଅଟେ।

(iv) 0.4x – 1.5y = 6.5 ……… (i) ଓ

0.3x + 0.2y = 0.9 ………. (ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -4

y ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

0.4x – 1.5y = 6.5 ⇒ 0.4x + 4.5 = 6.5

⇒ 0.4x = 6.5 – 4.5 ⇒ 1.4x = 2 ⇒ x = 20.4 = 5

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (5, -3) ଅଟେ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

(v) √2x + √3y = 0 ……… (i) ଓ

√5x + √2y = 0 ………. (ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -5

c1 = c2 = 0 ଓ a1b2 – a2b1 = 0 ହେଲେ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନଟି (0, 0) ଅଟେ ।

ଏଠାରେ c1 = c2 = 0 ଏବଂ 2√5√≠3√2√

ତେଣୁ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (0, 0) ଅଟେ ।

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -6

‘y’ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i)ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

√2x + √3 × 0 = 0 ⇒ √2x = 0 ⇒ x = 0

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (0, 0) ଅଟେ।

(v) ax + by = 0 ……… (i) ଏବଂ

x + y – c = 0 ………. (ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -7

‘x’ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii)ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, y = c – x = c – bcb−a =

= bc−ca−bcb−a = −cab−a = caa−b

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (bcb−a, caa−b) ଅଟେ।

Question 3.

ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ସହ ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର ।

(1) x + 2y + 1 = 0, 2x – 3y – 12 = 0

(ii) 2x + 5y = 1, 2x + 3y = 3

(iii) x + 6y + 1 = 0, 2x + 3y + 8 = 0

(iv) xa+yb = a+b, xa2+yb2 = 2

(v) x + 6y + 1 = 0, 2x + 3y + 8 = 0

(vi) 4x – 9y = 0, 3x + 2y – 35 = 0

ବଜ୍ରଗୁଣନ ପୃତ୍ର : xb1c2−b2c1=yc1a2−c2a1=xa1b2−a2b1

ଯେଉଁଠାରେ a1b2 = a2b1 ≠ 0

ସମାଧାନ :

(i) x + 2y + 1 = 0 ……… (i) ଏବଂ

2x – 3y – 12 = 0 ………. (ii)

ସମୀକରଣମାନଙ୍କର a1b2 – a2b1 = (1)(-3) – (2)(2) = -7 ≠ 0

ତେଣୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।

ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମୂନରେ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -8

⇒ x−21=y14=1−7

⇒ x = −21−7 ଓ y = 14−7

⇒ x = 3 ଓ y = -2

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (3, -2) ଅଟେ।

(ii) 2x + 5y = 1 ……… (i) ଏବଂ

2x + 3y = 3 ………. (ii)

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ଦ୍ବୟରୁ 2x + 5y = 1, 2x + 3y = 3

ସମୀକରଣମାନଙ୍କର a1b2 – a2b1 = (2)(3) – (2)(5) = -4 ≠ 0

ତେଣୁ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମୂନରେ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -9

⇒ x15−(−3)=y−2−(−6)=16−10

⇒ x15+3=y−2+6=16−10

⇒ x−12=y4=1−4

⇒ x = −12−4=3 ଓ y = 4−4=−1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (3, -2) ଅଟେ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

(iii) x + 6y + 1 = 0 ……… (i) ଏବଂ

2x + 3y + 8 = 0 ………. (ii)

ଏଠାରେ a1b2 – a2b1 = (1)(3) – (2)(6) = 3- 12 = -9 ≠ 0

ତେଣୁ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମୂନରେ

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -10

⇒ x48−3=y2−86=13−12

⇒ x45=y−6=1−9

⇒ x = −45−9=−5 ଓ y = −6−9=23

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (-5, 23) ଅଟେ।

(iv) xa+yb = a+b ……… (i)

xa2+yb2=2 ………. (ii)

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ xa+yb−(a+b)=0, xa2+yb2−2=0

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -11

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (a², b²) ଅଟେ।

(v) x + 6y + 1 = 0 ……… (i)

2x + 3y + 8 = 0 ………. (ii)

ଏଠାରେ a1 = 1

b1 = 6

c1 = 1

a2 = 5

b2 = 3

c2 = 8

ପୁନଶ୍ଚ a1a2=12, b1b2=63=2

a1a2≠b1b2, ତେଣୁ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।

b1c2 – b2c1 = 6 × 8 – 3 × 1 = 48 – 3 = 45

c1a2 – c2a1 = 1 × 2 – 8 × 1 = 2 – 8 = -6

a1b2 – a2b1 = 1 × 3 – 2 × 6 = 3 – 12 = -9

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -12

⇒ x45=y−6=1−9

⇒ x = −45−9=−5 ଓ y = −6−9=23

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (-5, 23 ) ।

(vi) 4x – 9y = 0 ……… (i)

3x + 2y – 35 = 0 ………. (ii)

ଏଠାରେ a1 = 4

b1 = -9

c1 = 0

a2 = 3

b2 = 2

c2 = -35

ତେଣୁ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ; a1a2≠b1b2 (43≠−92)

b1c2 – b2c1 = (-9)(-35) – 2 × 0 = 315

c1a2 – c2a1 = 0 × 3 – (-35) × 4 = 140

a1b2 – a2b1 = 4 × 2 – 3 × (-9) = 35 ≠ 0

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -12.1

⇒ x315=y140=135

⇒ x9=y4=1 ⇒ x = 9 ଓ y = 4

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (9, 4) ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

Question 4.

ନିମ୍ନଲିଖ୍ ସହସମୀକରଣମାନଙ୍କ ସମାଧାନ କର ।

(i) 2x+3y=17,1x+1y=7(x≠0,y≠0)

(ii) 5x+6y=13,3x+20y=35(x≠0)

(iii) 2x−3y=9,3x+7y=2(y≠0)

(iv) 4x + 6y = 3xy, 8x + 9y = 5xy (x ≠ 0, y ≠ 0)

(v) (a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b², (a + b)x+(a + b)y = a² + b²

(vi) 2x+3y=2, ax – by = a² – b²

(vii) 5x+y−2x−y+1=0,15x+y+7x−y−10=0

(viii) xyx+y=65,xyx+y=6(x+y≠0,x−y≠0)

(ix) 6x + 5y = 7, x + 3y + 1 = 2 (x + 6y – 1)

(x) x+y−82=x+2y−143=3x+y−1211

(xi) x+y2−x−y3=8,x+y3+x−y4=11

(xii) xa=yb,ax+by=a2+b2

ସମାଧାନ :

(i) 2x+3y=17 ⇒ 2x+3y−17=0 …….(1)

1x+1y=7 ⇒ 1x+1y−7=0 …….(2)

ଏଠାରେ 1x=u ଏବଂ 1x=v ନେଲେ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣଦ୍ବୟ

2u + 3v – 17 = 0, ଏବଂ u + v – 7 = 0 ହେବ ।

ଏଠାରେ a1 = 2

b1 = 3

c1 = -17

a2 = 1

b2 = 1

c2 = -7

a1a2≠b1b2 ହୋଇଥିବାରୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।

b1c2 – b2c1 = (3)(-7) – 1(-17) = -21 – 17 = -4

c1a2 – c2a1 = (-17) × 1 – (-7) × 2 = -17 + 14 = -3

a1b2 – a2b1 = 2 × 1 – 1 × 3 = 2 – 3 = -1 (≠ 0)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -13

⇒ u−4=v−3=1−1 ⇒ u = 4 ଏବଂ v = 3

⇒ 1x=4 ଏବଂ 1y=3 ⇒ x = 14 ଏବଂ y = 13

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (14, 13) ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -14

‘x’ ର ମାନ ସମୀକରଣରେ (ii) ପ୍ରୟୋଗ କଲେ y = 13 ହେବ ।

(ii) 5x+6y=13 ⇒ 5x+6y−13=0 ……..(1)

3x+20y=35 ⇒ 3x+20y−35=0 ……….(2)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -15

ସମୀକରଣ (1) ରେ x = 4125

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -17

⇒ 12541+6y−13=0⇒6y=13−12541=533−12541

⇒ 6y=40841⇒y=40841×16=6841

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (4125, 6841) ।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

(iii) 2x−3y=9, …….(i)

3x+7y=2 …….(ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -18

‘x’ ର ମାନ ସମୀକରଣରେ (ii) ପ୍ରୟୋଗ କଲେ 2 × 3 – 3y = 9 ⇒ – 3y = 9 – 6

⇒ 3y = -3 ⇒ y = -1

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (3, -1)।

(iv) 4x + 6y = 3xy ………..(i)

8x + 9y = 5xy ………. (ii)

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ xy ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ,

4y+6x=3 …..(iii)

8y+9x=5

ମନେକର 1x=u ଓ 1y=v। ତେଣୁ ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) ରୁ

6u + 4v = 3 ……(v), 9u + 8v = 5 ……..(vi)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -19

ସମୀକରଣ (v) ରେ u = 13 ବସୀକଲେ, 6 × 13 + 4v = 3 ⇒ 4v = 1 ⇒ v = 14

u = 13 ⇒ 1x = 13 ⇒ x = 3, v = 14 ⇒ 1y = 14 ⇒ y = 4

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (3, 4)।

(v) (a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b² ……..(i)

(a + b)x+(a + b)y = a² + b² ……….(ii)

ସମୀକରଣ (ii) କୁ ସମୀକରଣ (i) ରୁ ବିପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

x(a + b) – x(a + b) = -2ab – 2b²

⇒ x(a + b – a – b) = -2ab – 2b²

⇒ -2bx = -2b(a + b) ⇒ x = a + b

‘x’ ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, (a+b)(a+b) + (a+b) y = a² + b²

⇒ a² + b² + 2ab + (a + b) y = a² + b²

⇒ (a + b) y = -2ab ⇒ y = −2aba+b

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (a+b, −2aba+b)।

(vi) 2x+3y=2 ⇒ bx+ayab=2

⇒ bx + ay = 2ab ……(1), ax – by = a² – b² ………(2)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -20

⇒ x(a² + b²) = a³ + ab² ⇒ x(a² + b²) = a(a² + b²) ⇒ x = a

ସମୀକରଣ (1) ରେ x = a ସ୍ଥାପନ କଲେ, b.a + ay = 2ab ⇒ ay = ab

⇒ y = b

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (a, b)।

(vii) 5x+y−2x−y+1=0 ……..(i) ଏବଂ

15x+y+7x−y−10=0 ……..(ii)

1x+y=a ଏବଂ 1x−y=b ହେଲେ

ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ 5a – 2b + 1 = 0 ………(iii) ଏବଂ 15a + 7b – 10 = 0 ……….(iv)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -21

⇒ x – y = 1 …….. (v)

b ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗକଲେ,

5a – 2 × 1 + 1 = 0

⇒ 5a – 1 = 0 ⇒ 5a = 1 ⇒ a = 15

⇒ 1x+y=15 ⇒ x + y = 5 ……..(iv)

ସମୀକରଣ (v) ଓ (vi) ରୁ ୟୋଗକଲେ x + y + x – y = 5 + 1

⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

∴ ନିଶ୍ଚେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (3, 2)।

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

(viii) xyx+y=65 …….(i)

xyx+y=6 ……..(ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -22

⇒ 1y=26 ⇒ 1y=13 ⇒ y = 3

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (2, 3)।

(ix) 6x + 5y = 7x + 3y + 1 = 2 (x + 6y – 1)

⇒ 6x + 5y = 7x + 3y + 1 ⇒ x – 2y + 1 = 0 ……(i)

ପୁନଶୃ 7x + 3y + 1 = 2 (x + 6y – 1)

⇒ 7x + 3y + 1 = 2x + 12y – 2 ⇒ 5x – 9y + 3 = 0 …..(ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -23

ସମୀକରଣ (i) ରେ x = 3 ସ୍ଥାପନ କଲେ, 3 – 2y + 1 = 0

⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2

∴ ସମାଧାନ ପେଟ୍ (x, y) = (3, 2)।

(x) x+y−82=x+2y−143=3x+y−1211

⇒ x+y−82=x+2y−143 ⇒ 3(x + y – 8) = 2(x + 2y – 14)

⇒ 3x + 3y – 24 = 2x + 4y – 28 ⇒ x – y = -4 ……..(i)

ପୁନଶୃ x+2y−143=3x+y−1211 ⇒ 11(x + 2y – 14) = 3(3x + y – 12)

⇒ 11x + 22y – 154 = 9x + 3y – 36 ⇒ 2x + 19y = 118 ……….(ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -24

ସମୀକରଣ (i) ରେ x = 2 ସ୍ଥାପନ କଲେ, 2 – y = -4 ⇒ y = 6

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (2, 6)।

(xi) x+y2−x−y3=8 ⇒ 3(x+y)−2(x−y)6=8

⇒ 3x + 3y – 2x + 2y = 48 ⇒ x + 5y = 48 ……..(i)

ପୁନଶୃ x+y3+x−y4=11 ⇒ 4(x+y)+3(x−y)12=11

⇒ 4x + 4y + 3x – 3y = 132 ⇒ 7x + y = 132 ……..(ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -25

ସମୀକରଣ (i) ରେ y = 6 ସ୍ଥାପନ କଲେ, x + 5 × 6 = 48 ⇒ x = 18

∴ ସମାଧାନ (x, y) = (18, 6)।

(xii) xa=yb ⇒ bx = ay ⇒ bx – ay = 0 ……..(i)

ଏବଂ ax+by=a2+b2 ………(ii)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -26

x ର ମାନ ସମୀକରଣ (i) ରେ କଲେ, ba – ay = 0 ⇒ ay = ab ⇒ y = b

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b) -27

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :

xa=yb=k (ମନେକର) x = ak, y = bk

ax + by = a² + b² = a.ak + b.bk = a² + b²

k (a² + b²) = a² + b² ⇒ k = 1

∴ x = ak = a . 1 = a; y = bk = b . 1 = b

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

Question 5.

ନିମ୍ନଲିଖତ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) ∣∣∣2650∣∣∣

(ii) ∣∣∣23−12∣∣∣

(iii) ∣∣∣054−1∣∣∣

(iv) ∣∣∣1234115∣∣∣

ସମାଧାନ :

(i) ∣∣∣2650∣∣∣ = 2(0) – 6(5) = 0 – 30 = -30

(ii) ∣∣∣23−12∣∣∣ = 2 × 2 – 3 (-1) = 4 + 3 = 7

(iii) ∣∣∣054−1∣∣∣ = 0(-1) – 5 × 4 = 0 – 20 = -20

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

(iv) ∣∣∣1234115∣∣∣ = (12)(15)−(34)(1)=110−34=2−1520=−1320

Question 6.

Cramer ଙ୍କ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରି ନିମ୍ନ ସହସମୀକରଣମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର ।

(i) 2x + 3y = 5, 3x + y = 4

(ii) x + y = 3, 2x + 3y = 8

(iii) x – y = 0, 2x + y = 3

(iv) 2x – y = 3, x – 3y = -1

ସମାଧାନ :

(i) Δ=∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣=∣∣∣2331∣∣∣=2×1−3×3=2−9=−7

ଏଠାରେ ∆ ≠ 0 ତେଣୁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

Δx=∣∣∣−c1−c2b1b2∣∣∣=∣∣∣5431∣∣∣=5×1−4×3=5−12=−7

Δy=∣∣∣a1a2−c1−c2∣∣∣=∣∣∣2354∣∣∣=2×4−5×3=8−15=−7

x = ΔxΔ=−7−7=1, y = ΔyΔ=−7−7=1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (1, 1)

(ii) Δ=∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣=∣∣∣1213∣∣∣=1×3−2×1=3−2=1

ଏଠାରେ ∆ ≠ 0 ତେଣୁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

Δx=∣∣∣−c1−c2b1b2∣∣∣=∣∣∣3813∣∣∣=3×3−8×1=9−8=1

Δy=∣∣∣a1a2−c1−c2∣∣∣=∣∣∣1238∣∣∣=1×8−2×3=8−6=2

x = ΔxΔ=11=1, y = ΔyΔ=21=2

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (1, 2)

(iii) Δ=∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣=∣∣∣12−11∣∣∣=1×1−2×−1=1+2=3

∆ ≠ 0 ତେଣୁ ସହ-ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

Δx=∣∣∣−c1−c2b1b2∣∣∣=∣∣∣03−11∣∣∣=0×1−3×−1=0+3=3

Δy=∣∣∣a1a2−c1−c2∣∣∣=∣∣∣1203∣∣∣=1×3−2×0=3−0=3

x = ΔxΔ=33=1, y = ΔyΔ=33=1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (1, 1)

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(b)

(iii) Δ=∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣=∣∣∣21−1−3∣∣∣=2×(−3)−1×(−1)=−6+1=−5

∆ ≠ 0 ତେଣୁ ସହ-ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

Δx=∣∣∣−c1−c2b1b2∣∣∣=∣∣∣3−1−1−3∣∣∣=3×−3−(−1)×−1=−9−1=−10

Δy=∣∣∣a1a2−c1−c2∣∣∣=∣∣∣213−1∣∣∣=2×−1−1×3=−2−3=−5

x = ΔxΔ=−10−5=1, y = ΔyΔ=−5−5=1

∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (x, y) = (2, 1)