Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକରେ ଥିବା ତ୍ରୁଟିକୁ ସଂଶୋଧନ କରି ଲେଖ ।
(i) x² – 4x + 4 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ଭିନ୍ନ ।
(ii) x² – 5x + 6 = 0 ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ 2 ଅଟେ ।
(iii) ax? + bx – c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ca।
(iv) ax’ + bx + c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ ba।
(v) 1 ଓ -1 ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣଟି x² + 1 = 0 ।
(vi) x² = 0 ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି ।
(vii) 3x² – 2x – 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି –32।
(viii) 3x² – 2x – 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 13।
ଉ-
(i) x² – 4x + 4 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟ ବାସ୍ତବ ପରିମେୟ ଓ ସମାନ ।
(ii) x² – 5x + 6 = 0 ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ 1 ଅଟେ ।
(iii) ax² + bx – c = 0 ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି −ba।
(iv) ax² + bx + c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ ca।
(v) 1 ଓ – 1 ମୂଳବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣଟି x² – 1 = 0।
(vi) x² = 0 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ଅଟନ୍ତି ।
(vii) 3x² – 2x – 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି 23
(viii) 3x² – 2x – 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ −13।
(i) ଏଠାରେ a = 1, b = -4, c = 4
ପ୍ରଭେଦକ (D) = b² – 4ac = (-4)² – 4 × 1 × 4 = 16 – 16 = 0
∴ ମୂଳଦ୍ବୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ।
(ii) ଏଠାରେ a = 1, b=-5, c = 6
ପ୍ରଭେଦକ (D) = b² – 4ac = (- 5)² – 4 (1) (6) = 25 – 24 = 1
(iii) ax² + bx – c = 0 ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି −ba।
(iv) ax² + bx + c = 0 ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ ca।
(v) ମୂଳବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ, x² – (α + ß) x + αß = 0
⇒ x² – { 1 + (- 1)} x + 1 (-1) = 0 ⇒ x² – 1 = 0
(vi) x = 0 ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ଅଟନ୍ତି । (କାରଣ ପ୍ରଭେଦକ (D) = 0)
(vii) ଏଠାରେ a = 3, b = -2, c = -1 ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ = −ba = −(−2)a = 23
(viii) 3x² – 2x-1=0 ଏଠାରେ a = 3, b = -2, c = 1 ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ ca = −13
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖୂ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ 3 ଓ -5 ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି ନିରୂପଣ କର ।
(ii) mx² – 2x + (2m – 1) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 3 ହେଲେ, m ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
(iii) x² – px + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 2 ହେଲେ, p ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
(iv) 4x² – 2x + c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେଲେ, c ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
(v) 5x² + 2x + k = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ – 2 ହେଲେ, k ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
(vi) x² – kx + 6 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 3 ହେଲେ, k ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
(vii) 2x² + kx + 3 = 0 ସମୀକରଣର ଦୁଇଟି ମୂଳ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ହେଲେ, k ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
(i) ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ 3 ଓ – 5 । ଅର୍ଥାତ୍ α = 3 ଓ ß = – 5
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -1 x² – (α + ß) x + αß = 0
⇒ x² – (3 – 5) x + (3)(-5) = 0 ⇒ x² + 2x – 15 = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -2
(ii) mx² – 2x + (2m – 1) = 0 ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ = 3
ଏଠାରେ a = m, b = – 2, c = 2m – 1
ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ = ca ⇒ 3 2m−1m
⇒ 3m = 2m – 1 ⇒ 3m – 2m = 1 ⇒ m = -1
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 3 ହେଲେ m = -1 ହେବ ।
(iii) x² – px + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 2।
⇒ 2² – p(2) + 2 =0 ⇒ 4 – 2p + 2 = 0 ⇒ 6 = 2p ⇒ p = 62 = 3
∴ pର ମାନ = 3
(iv) 4x² – 2x + c = ଫିର ମୂଳଦ୍ବୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ । ଏଠାରେ a = 4, b = – 2, c = c
ପ୍ରଭେଦକ (D) = 0 ⇒ b² – 4ac = 0 ⇒ (-2)² – 4 (4) c = 0 ⇒ 4 – 16c = 0
⇒ -16c = -4 = c = – −416=14
∴ c = 14
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଏବଂ ଅଭିନ୍ନ ହେଲେ c ର ମାନ 14 ହେବ।
(v) 5x² + 2x + k = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ – 2 ।
⇒ 5(- 2)² + 2(- 2) + k = 0 ⇒ 20 – 4 + k = 0 ⇒ 16 + k = 0 ⇒ k = -16
∴ ‘k’ ର ମାନ -16 ପାଇଁ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ -2 ହେବ ।
(vi) x² – kx + 6 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 3।
⇒ 3² – 3k + 6 = 0 ⇒ 9 – 3k + 6 = 0 ⇒ -3k = -15 ⇒ −15−3=5
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 3 ହେଲେ k ର ମାନ 5 ହେବ ।
(vii) 2x² + kx + 3 = 0, ଏଠାରେ a = 2, b = k, c = 3
ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ହେଲେ b² – 4ac = 0
⇒ k² – 4 (2) (3) = 0 ⇒ k² – 24 = 0 ⇒ k² = 24 ⇒ k = ±√24 ⇒ k = ± 2√6
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ହେଲେ k ର ମାନ ±2√6 ହେବ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
Question 3.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନପାଇଁ ଥିବା ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) ନିମ୍ନଲିଖ୍ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି x ରେ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ?
(a) x² – x – 12 = 0
(b) x² + 12 = 3
(c) x + = x²
(d)x (x – 1 ) (x + 5) = 0
(ii) 7x² – 9x + 2 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ବରୂପ କ’ଣ ?
(a) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍
(b) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ
(c) ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ
(d) ଏଥୁରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ
(iii) ନିମ୍ନଲିଖ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି – 6 ଓ 8 ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ?
(a) (x + 6) (x+8)= 0
(b) (x + 6) (x – 8) = 0
(c) (x – 6) (x + 8) = 0
(d) (x – 6) (x – 8) = 0
(iv) 3x² + 2√5 x – 5 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ଓ ହେଲେ αß ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
(a) 3
(b) 2√5
(c) 2√53
(d) −53
(v) 4x – 2x + 2 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟ α ଓ ß ହେଲେ α + ß ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
(a) 116
(b) 4
(c) 12
(d) -8
(vi) 4x + 3x + 7 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ହେଲେ 1α+1ß ର ହେଲେ କେତେ ?
(a) 37
(b) –37
(c) 73
(d) –73
(vii) ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ଓ ଗୁଣଫଳ ଯଥାକ୍ରମେ 4 ଓ 52 ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ?
(a) 2x² + 8x + 5 = 0
(b) 2x² – 8x + 5 = 0
(c) 2x² + 8x – 5=0
(d) 2x² – 8x – 5 = 0
ଉ-
(i) x² – x – 12 = 0
(ii) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍
(iii) (x +6) (x – 8) = 0
(iv) −53
(v) 12
(vi) –37
(vii) 2x² – 8x + 5 = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କୁ ପୂର୍ବ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ସମାଧାନ କର ।
(i) x² + x – 6 = 0
(ii) 2x² – 9x + 4 = 0
(iii) 14x² + x – 3 = 0
(iv) 3x² – 32x + 12=0
(v) x² + 2px – 3qx – 6pq = 0
(vi) √3x² + 10x + 8√3 = 0
(vii) 25x² + 30x + 7 = 0
(viii) 3a²x² + 8abx + 4b² = 0 (a ≠ 0)
(ix) x² + ax + b = 0
(x) x² + bx = a² – ab
ସମାଧାନ :
(i)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -3
(ii)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -4
(iii)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -5
(iv)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -6
(v) x² + 2px – 3qx – 6pq = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -7
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
(vi) √3x² + 10x + 8√3 = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -8
(vii) 25x² + 30x + 7 = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -9
(viii) 3a²x² + 8abx + 4b² = 0 (a ≠ 0)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -10
(ix) x² + ax + b = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -11
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -11.2
(x) x² + bx = a² – ab
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -12
Question 5.
ଦ୍ଵିଘାତ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ନିମ୍ନଲିଖ ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ବୀଜ ବା ମୂଳ ନିରୂପଣ କରି ।
(i) 4x² – 11x + 6 = 0
(ii) (2x – 1)(x – 2) = 0
(iii) x² – (1+√2)x+ 2 = 0
(iv) a(x² + 1) = x(a2 + 1), a ≠ 0
(v) 6x² + 11x + 3 = 0
(vi) 2x² + 41x – 115 = 0
(vii) 12x² +x – 6 = 0
(viii) (6x + 5)(x – 2) = 0
(ix) 15x² – x – 8 = 0
(x) (x + 5)(x – 5) = 39
ସମାଧାନ :
(i) 4x² – 11x + 6 = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -13
(ii) (2x – 1)(x – 2) = 0
⇒ 2x² – 4x -x + 2 = 0 ⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
ଏଠାରେ a = 2, b = -5, c = 2
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -14
(iii) x² – (1+√2)x+ 2 = 0
ଏଠାରେ a = 1, b = – (1+√2), c = √2
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -15
(iv) a(x² + 1) = x(a² + 1) ⇒ a(x² + 1) – x(a² + 1) = 0
⇒ ax² + a – x(a² + 1) = 0 ⇒ ax² – x(a² + 1) + a = 0
ଏଠାରେ a = a, b = -(a² + 1), c = a
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -16
(v) 6x² + 11x + 3 = 0
ଏଠାରେ a = 6, b = 11, c = 3
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -17
(vi) 2x² + 41x – 115 = 0
ଏଠାରେ a = 2, b = 41, c = -115
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -18
(vii) 12x² +x – 6 = 0
ଏଠାରେ a = 12, b = 1, c = -6
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -19
(viii) (6x + 5)(x – 2) = 0 ⇒ 6x² -12x + 5x – 10 = 0 ⇒ 6x² -7x – 10 = 0
ଏଠାରେ a = 6, b = -7, c = -10
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -20
(ix) 15x² – x – 8 = 0
ଏଠାରେ a = 15, b = -1, c = -8
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a) -21
(x) (x + 5)(x – 5) = 39 ⇒ x² – 25 = 39 ⇒ x² – 25 – 39 = 0 ⇒ x² – 64 = 0
ଏଠାରେ a = 1, b = 0, c = -64
x = −b±b2−4ac√2a=0±02−4(1)64√2(1)=0±256√2=±162=±8
⇒ x = 8 ବ। x = -8
∴ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ 8 ଓ -8 ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
Question 6.
ଯଦି 4x² – 13x + k = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର 12 ଗୁଣ ହେଲେ kରେ ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର 4x² – 13x + k = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ । ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି 12α ।
ଏଠାରେ a = 4, b = 13 6 c = k
∴ ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = −ba ⇒ α + 12α = −(−13)4 ⇒ 13α = 134 ⇒ α = 134 × 113 = 14
ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଲ = −ca ⇒ α.12α = k4 ⇒ 12α² = k4 ⇒ 12 × (14)² = k4 ⇒ 1216 = k4 ⇒ 16k = 48 ⇒ k = 3
∴ kର ମାନ 3 ହେଲେ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର 12 ଗୁଣ ହେବ ।
Question 7.
x² – 5x + p = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟି ଅପେକ୍ଷା 3 ଅଧିକ ହେଲେ pର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର x² – 5x + p = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ α ଓ ଅନ୍ୟଟି α + 3
∴ ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = α + α + 3 = −(−5)1
⇒ 2α + 3 = 5 ⇒ 2α = 5 – 3 = 2 ⇒ α = 22 = 1
α ର ମାନ ସମୀକରଣରେ ବସାଇଲେ 1² – 5 (1) + p = 0
⇒ 1 – 5 + p = 0 ⇒ p – 4= 0 ⇒ p = 4
∴ p ର ମାନ 4 ହେଲେ ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରୂଟି ଅପେକ୍ଷା 3 ଅଧିକ ହେବ ।
Question 8.
ଯଦି 2x² – 5x + 3 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟ α ଓ ß ହୁଏ ତେବେ α²ß + αß²ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ ‘କର ।
ସମାଧାନ :
2x² – 5x + 3= 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟ α ଓ ß।
ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି = α + ß = −(−5)2 ⇒ α + ß = 52
ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଲ = αß = 32
∴ α²ß + αß² = αß (α + ß)32(52) = 154
Question 9.
ଯଦି 2x² – 6x + 3 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ହୁଏ, ତେବେ (α + 1) (ß + 1) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
2x² – 6x + 3= 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟ α ଓ ß।
ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = α + ß = −(−6)2 = 62 = 3
ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଲ = αß = 32
∴ (α + 1) (ß + 1) = αß + α + ß + 1 = 32 + 3 + 1 = 3+6+22 = 112
∴ (α + 1) (ß + 1) = 112
Question 10.
ଯଦି 2x² – (p + 1) x + p – 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର ଓ ଗୁଣଫଳ ସମାନ ହେଲେ pର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର 2x² – (p + 1) x + (p – 1) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß।
ବୀଜଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି α + ß = −−(p+1)2 = p+12 ଏବଂ αß = p−12
ପ୍ରଶାନୁସାରେ ବୀଜଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର, ବୀଜଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ ।
∴ α – ß = aß ⇒ (α – ß)² = (aß)² ⇒ (α + B)² – 4aß = (αß)²
⇒ (p+12)² – 4(p−12) ⇒ (p−12)² = (p+12)² – (p−12)² = 4 (p−12)
⇒ p . 1 = 2p – 2 ⇒ p = 2
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର ଓ ଗୁଣଫଳ ସମାନ ହେଲେ p ର ମାନ 2 ହେବ ।
Question 11.
ଯଦି 5x² – 3x – 2 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ α³ + ß³ = 117125
ସମାଧାନ :
5x²-3x-2=0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß।
ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = α + ß = −(−3)5 = 35, ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଲ = αß = −25
∴ α³ + ß³ = (α + ẞ)³ – 3αß (α + B)
= (35)³ – 3(35)(−25) = 27125+1825 = 27+90125 = 117125
∴ α³ + ß³ = 117125 (ପ୍ରମାଣିତ)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
Question 12.
ଯଦି 5x² + 17x + 6 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ହୁଏ ତେବେ 1α²+1ß² ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
5x² + 17x + 6 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß।
∴ ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = α + ß = −175, ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଲ = αß = 65
1α²+1ß² = ß²+α²α²ß² = (α+ß)²−2αẞ(αß)²
=(−175)2−2(65)(65)2=28925−1253625 = 289−6025 × 2536 = 22936
∴ 1α²+1ß² ର ମୂଲ୍ୟ 22936 ।
Question 13.
x² – 8x + 16p = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ହେଲେ αßα+ß ପରିପ୍ରକାଶକୁ p ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ :
x² – 8x + 16p = 0 ମୂଳ ଦ୍ଵୟ α ଓ ß।
∴ ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = α + ß = −(−8)1=8, ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଲ = αß = 16p1=16p
∴ αßα+ß = 16p8 = 2p
Question 14.
ଯଦି x² – 2 (5 + 2m) x + 3 (7 + 10m) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହୁଏ, m ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
x² – 2 (5 + 2m) x + 3 (7 + 10m) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ।
ପ୍ରଭେଦକ (D) = 0
ଏଠାରେ a = 1, b = – 2 (5+ 2m), c = 3 (7 + 10m)
D = b² – 4ac = 0
⇒ {-2(5+ 2m)}² – 4 × 1 × 3 (7 + 10m) = 0
⇒ 4 (25 + 20m + 4m²) – 4 × 3 (7 + 10m) = 0
⇒ 100+ 80m + 16m² – 12 (7 + 10m) = 0
⇒ 16m² + 80m + 100 – 84 – 120m = 0 16m² – 40m + 16 = 0 ⇒ 2m² – 5m+2=0 2m² – 4m – m + 2=0
⇒ 2m (m – 2) – 1 (m – 2) = 0 ⇒ (m – 2) (2m – 1) = 0
m – 2 = 0 | 2m – 10 ⇒ m = 2 | m =
∴ m ର ମାନ 2 କିମ୍ବା 12 ହେଲେ x² – 2 (5 + 2m) x + 3 (7 + 10m) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେବେ ।
Question 15.
(i) ଯଦି a = b = c ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସମୀକରଣ
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 ର ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ।
(ii) ଯଦି a + b + c = 0 ଏବଂ a, b, c ∈ Q ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(b + c – a) x² + (c + a – b) x + (a + b – c) = 0 ସମୀକରଣର ପରିମେୟ ହେବେ ।
ସମାଧାନ :
(i) a = b = c ହେଲେ, (x – a) (x – b) + (x – b) (x – c) + (x – c) (x – a) = 0
⇒ (x – a)² + (x – a)² + (x – a)² = 0
⇒ 3 (x – a)² = 0 ⇒ (x – a)² = 0 ⇒ x² – 2ax + a² = 0
ଏଠାରେ ପ୍ରଭେଦକ (D) = b² – 4ac = (-2a)² – 4(1) a² = 4a² – 4a² = 0
∴ D = 0 ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ।
(ii) ଯଦି a+b+c=0, a, b, c ∈ Q
(b + c – a) x² + (c + a – b) x + (a + b – c) = 0
a + b + c = 0
⇒ b + c = a, c + a = – b, a + b = -c
(b + c – a) x² + (c + a – b) x + (a + b – c) = 0
⇒ -2ax² + (-2b) x + (- 2c) = 0 ⇒ 2 (ax² + bx + c) = 0
⇒ ax² + bx + c = 0
ପ୍ରଭେଦକ (D) = b² – 4ac = (-b)² – 4ac = (a + c)² – 4ac = (a – c)²
Question 16.
ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 3 ଓ ମୂଳଦ୍ବୟର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 29 ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ସ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = α + ß = 3
ମୂଳଦ୍ଵୟର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି = α² + ß² = 29
⇒ (α + ß)² – 2 aẞ = 29 ⇒ 3² – 2αß = 29
⇒9 – 2αẞ = 29 ⇒ – 2αß = 29 – 9 = 20
αß = −202 = -10
ସମୀକରଣଟି x² – (a + ẞ) x + αß = 0
⇒ x² – 3x + (-10) = 0 ⇒ x² – 3x – 10 = 0
Question 17.
ଯଦି 2x² – 4x + 2 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ αß+ßα + 4(1α+1ß) + 2αß = 12
ସମାଧାନ :
2x² – 4x + 2 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
∴ ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି α + ß = −(−4)2 = -2 ଏବଂ ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଲ αβ = 22 = 1
L.H.S. = αß+ßα + 63(1α+1ß) – 2αß
= ß²+α²αß + 63(α+ß)(αß) – 2αß
= (α+ß)²−2αß(αß) + 4(α+ß)(αß) + 2αß
= (2)²−2×11 + 4(2)1 + 2 × 1
= 2 + 8 + 2 = 12 = R.H.S.
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
Question 18.
(i) ଯଦି ax² + bx + c = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର 4 ଗୁଣ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ 4b² = 25ac।
(ii) ଯଦି x² – px + q = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର 2 ଗୁଣ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ 2p² = 9q ।
ସମାଧାନ :
(i) ମନେକର ax² + bx + c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଏବଂ 4α।
∴ ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି α + 4α = −ba ⇒ 5α = −ba ⇒ α= −b5a .. (i)
ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଲ α.4α = c2
⇒ 4α2=ca⇒4×(−b5a)2=ca [(i)]
⇒ 4b²25a²=ca⇒4ab²=25a²c⇒4b²=25ac (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) ମନେକର x² – px + q = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଏବଂ 2α।
∴ ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି α + 2α = −(−p)1 ⇒ 3α = p ⇒ α= p3 .. (i)
ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଲ α.2α = q1 = 2α² = q
⇒ 2 × (p3)³ = q ⇒ 2p²3 = q ⇒ 2p² = 9q (ପ୍ରମାଣିତ)
Question 19.
(i) ଯଦି 41x² – 2 (5a + 4b) x + (a² + b²) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ab=54।
(ii) ଯଦି x² + px + q = 0 ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ଯେ, 2q = p (p + 1)।
(ii) ଯଦି x² + px + q = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ ଅନ୍ୟଟିର ବର୍ଗ ହୁଏ, ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ p³ + q² + q = 3pq।
ସମାଧାନ :
(i) 41x² – 2 (5a + 4b) x + (a² + b²) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ।
ଏଠାରେ a = 41, b = -2(5a + 4b), c = (a² + b²)
ପ୍ରଭେଦକ (D) = b² – 4ac = 0
⇒ {-2 (5a + 4b)}² – 4 (41) (a² + b²) = 0
⇒ 4 (25a² + 40ab + 16b²) – 4 (41a² + 41b²) = 0
⇒(25a² + 40ab + 16b² – 41a² – 41b²) = 0
⇒(-16a² + 40ab – 25b²) = 0
⇒(16a² – 40ab + 25b²) = 0
⇒(4a)² – 2.4a.5b + (5b)² = 0
⇒ (4a – 5b)² = 0
⇒4a – 5b = 0 [∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
⇒ 4a = 5b ⇒ ab=54।
(ii) x² + px + q = 0 ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ।
ମନେକର ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟ α ଓ ß।
ବୀଜଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି α + ß = – p ଏବଂ ବୀଜଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ αß = q
କିନ୍ତୁ ଦତ୍ତ ଅଛି α + ß = α² + ß²
⇒ α + ß = α² + ß² – 2αß ⇒ – p = (- p)² – 2q
⇒ 2q = p² + p ⇒ 2q = p (p + 1) (ପ୍ରମାଣିତ)
(iii) x + px + g = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ ଅପରଟିର ବର୍ଗ ।
ମନେକର ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟ α ଓ α²।
ବୀଜଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି α + α² = – p
ବୀଜଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ α.α² = q ⇒ α³ = q
α + α² = – p = (α + α²)³ = -p³
⇒ a³ + α6 + 3α · a² (α + α²) = – p³ ⇒ q + q² + 3q (- p) = – p³
⇒ q² + q – 3pq = -p³ ⇒ p³ + q² + q = 3pq (ପ୍ରମାଣିତ)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex 2(a)
Question 20.
ଯଦି a(b – c) x² + b(c – a) x + c (a – b) = 0 ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 2b=1a+1c
ସମାଧାନ :
a(b – c) x² + b(c – a) x + c (a – b) = 0 ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟ ସମାନ ।
ସମୀକରଣର ପ୍ରଭଦେକ (D) = 0
⇒ {b (c – a)}² – 4a (bc) c (a – b) = 0
⇒ b² (ca)² – 4a (b -c) c (a – b) = 0
⇒(bc – ab)² – 4 a(b – c) · c (a – b) = 0
⇒ (ab – ca + ca – bc)² – 4a (b- c) · c (a – b) = 0
⇒ {a (b-c) + c (a – b)}² – 4a (b – c) c (a – b) = 0
⇒ {a (bc) -c (a – b)}² = 0 ⇒ (ab – ac- ca + bc) = 0
⇒ ab + bc = 2 ca ⇒ ababc+bcabc=2caabc (abc ଦ୍ବାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଭାଗ କଲେ)
⇒ 1c+1a=2b (ପ୍ରମାଣିତ)
No comments:
Post a Comment